Grenzwert von Funktion mit 2 Variablen

24.11.2018, 16:38	lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Funktion mit 2 Variablen Meine Frage: Hallo miteinander, ich stehe gerade bezüglich einer Aufgabe bzw. eines Lösungsweges auf dem Schlauch. $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{xy}{2(y-x)+xy} \end{eqnarray}$ für x=y ist f(x,y)=1 und für x=y/(y+1) ist f(x,y)=-1. Deshalb hat f(x,y) für (x,y) gegen 0 keinen Grenzwert Meine Ideen: Weshalb ist das eine Begründung für die Nichtexistenz eines Grenzwertes? Grüße, lea
24.11.2018, 21:47	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, wenn eine Funktion in zwei Variablen an einer Stelle $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ einen Grenzwert besitzen soll, dann muss jede Eineschränkung der Funktion auf eine zu dieser Stelle führenden Kurve zum selben Grenzwert konvergieren. Mit Einschränkung meint man, dass anstelle des gesamten Definitionsbereichs nur eine Kurve betrachtet wird. Die Umgebung der Stelle kann man natürlich so klein wählen wie man möchte, da die Betrachtung nur lokal ist. Man müsste aber zunächst eine Parameterkurve $\begin{eqnarray} \gamma(t) = (x(t),y(t)),\quad \gamma(t_0)=(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ haben und dann $\begin{eqnarray} \lim_{t\to t_0} f(\gamma(t)) = \lim_{t\to t_0} f(x(t),y(t)) \end{eqnarray}$ bestimmen. Wenn nun zwei solche Einschränkungen einen unterschiedlichen Grenzwert besitzen, hat man ein Gegenbeispiel gefunden. Durch die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=y/(y+1) \end{eqnarray}$ ergeben sich ja zwei Kurven. Davon eine Parameterdarstellung zu bestimmen ist leicht, denn die impliziten Kurven sind schon nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aufgelöst. D.h. man kann einfach $\begin{eqnarray} y(t)=t \end{eqnarray}$ setzen und $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ ist dann klar. Beachte aber, dass nicht einfach $\begin{eqnarray} f(x,y)=1 \end{eqnarray}$ ist, das ist falsch formuliert. Man muss schon $\begin{eqnarray} \lim_{t\to t_0} f(x(t),y(t))=1 \end{eqnarray}$ schreiben, wobei $\begin{eqnarray} x(t)=y(t)=t \end{eqnarray}$ . Der Graph der Funktion schaut so aus: [attach]48406[/attach] Link Die zwei blauen Kurven sind der Verlauf des Graphen auf den Einschränkungen. Die Funktion ist auf diesen Einschränkungen zufälligerweise konstant, wie man nachrechnen kann. Wenn man $\begin{eqnarray} f(x,y)=-1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\ne 0 \end{eqnarray}$ haben möchte, muss man aber $\begin{eqnarray} y=x/(x+1) \end{eqnarray}$ setzen. Für $\begin{eqnarray} x=y/(y+1) \end{eqnarray}$ kommt 1/3 raus.
26.11.2018, 15:03	lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat mir sehr geholfen, danke für deine ausführliche Antwort!

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