Lotto benachbarte Zahlen

05.09.2004, 04:11	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Lotto benachbarte Zahlen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß beim Lotto (6 aus 49) keine benachbarten Zahlen gezogen werden?
05.09.2004, 12:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir da etwas überlegt, bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt. Es sei also A das Ereignis, daß beim Lotto 6 aus 49 keine benachbarten Zahlen gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray} \frac{{44 \choose 6}}{{49 \choose 6}}=\frac{22919}{45402} \approx 50,5 \, \mbox{Prozent} \end{eqnarray}$ Hast du einen Anhaltspunkt, ob das stimmen könnte?
05.09.2004, 14:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir inzwischen recht sicher, daß meine Überlegung richtig ist. (Ausnahmsweise erlaube ich mir daher diesen Doppelbeitrag.) Die möglichen Lottoziehungen repräsentiere ich durch Worte der Länge 49, die 6mal den Buchstaben + und 43mal den Buchstaben o enthalten, z.B. Diese Worte bilden den Ergebnisraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ als der Laplace-Wahrscheinlichkeit auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Bekanntermaßen gilt: $\begin{eqnarray} \|\Omega\|={49 \choose 6} \end{eqnarray}$ Das Ereignis A besteht nun aus denjenigen Worten, die keine zwei aufeinanderfolgenden + enthalten. I) Jetzt stellen wir uns 43 aufeinanderfolgende Kreuze vor: . Davon wählen wir uns nun irgendwie 6 aus (rot) und ersetzen jedes der 6 Kreuze durch das Paar +o. Jedes nicht ausgewählte Kreuz ersetzen wir durch o. Im Beispiel erhalten wir . Für diese Prozedur gibt es $\begin{eqnarray} {43 \choose 6} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. II) Dann nehmen wir 44 Kreuze: , ersetzen das letzte (blau) durch + und wählen aus den restlichen 43 Kreuzen 5 aus (rot), die wir durch das Paar +o ersetzen. Jedes nicht ausgewählte Kreuz wird durch o ersetzt. Im Beispiel ergibt sich . Für diese Prozedur gibt es $\begin{eqnarray} {43 \choose 5} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Jedes Element aus A erhält man mittels der sich gegenseitig ausschließenden Fälle I),II). Es folgt: $\begin{eqnarray} \|A\|={43 \choose 6}+{43 \choose 5}={44 \choose 6} \ , \ \ P(A)=\frac{{44 \choose 6}}{{49 \choose 6}} \end{eqnarray}$
05.09.2004, 19:25	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
blinder Einwurf, wo ist der Fehler die 49 und die 1 können doch beide jeweils nur von einer Seite tangiert werden. Folgt daraus nicht dass es mehr Möglichkeiten mit benachbarten geben muss als nicht ??
05.09.2004, 20:28	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold , scheint zu stimmen. Mit einem vereinfachten Lotto (3 aus 49) hab ich es per Hand (die mgl. Kombinationen abzählen) nachgeprüft und dann nochmal mit dem Rechner verifiziert. Der Einwand von Poff ist Quatsch, da mit Leopolds Methode ALLE Möglichkeiten (auch die an den Rändern) erzeugt werden können.
05.09.2004, 20:58	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
... hey du, das war kein Einwand sondern nur ein Einwurf
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05.09.2004, 21:02	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry Poff, war net bös gemeint.
05.09.2004, 21:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und beim spätsommerlichen Nachmittagsspaziergang ist mir eingefallen, daß es noch viel einfacher geht (daß einem so etwas nicht sofort einfällt!): Bilde ein Wort aus 43mal o: ooo...oo Ich bezeichne den Raum vor dem ersten o, den Raum hinter dem letzen o und den Raum zwischen zwei o's als Zwischenraum. Dann gibt es 44 Zwischenräume. Und jetzt wählt man 6 Zwischenräume aus und fügt + ein. Voilá!

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