Banachräume

24.11.2018, 22:53	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachräume Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Funktionalanalysis Aufgabe: Es geht um die Distanzfunktion, die wie folgt definiert wurde: $\begin{eqnarray} dist(z,M) \rightarrow min \end{eqnarray}$ bedeutet, dass ein $\begin{eqnarray} m_0 \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|z - m_0\|\| \leq \|\|z - m\|\| \forall m \in M \end{eqnarray}$ zu finden ist. Ü14: Man konstruiere Banachräume $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ und abg. nichtleere konvexe Mengen $\begin{eqnarray} U \subset X, V \subset Y \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} dist(x,U) \rightarrow min \end{eqnarray}$ keine Lsg. hat $\begin{eqnarray} dist(y,V) \rightarrow min \end{eqnarray}$ mehrere Lsg. hat Meine Ideen: Ich finde die Aufgabe schon wieder sehr abstrakt. Unter der Distanzfunktion stell ich mir bis jetzt so eine Art Orthogonalprojektion der Funktionalanalysis vor. Von daher würde es mir schon sehr helfen, wenn mir jemand die Abb. erklären könnte. Ansonsten wäre mein Ansatz wahrscheinlich etwas mit Banachräumen wie $\begin{eqnarray} L^{\infty} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} l^{\infty} \end{eqnarray}$ zu machen... das ist aber reines Bauchgefühl.
24.11.2018, 23:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachräume Du hast einen festen Punkt z und eine Menge M und suchst den Punkt in M, der z am nächsten liegt. Der Knackpunkt ist jetzt eben, ob es so einen Punkt in M überhaupt gibt. Es ist also die Frage, ob $\begin{eqnarray} \inf\{\\|z-m\\|:m\in M\} \end{eqnarray}$ auch ein Minimum ist. Und dann ist die Frage, ob diese Bestapproximierende eindeutig ist. Für den Fall "mehrere Lösungen" kann man mit $\begin{eqnarray} Y=(C[0,1],\\|\cdot\\|_\infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V=\{f\in Y:f\geq 0\} \end{eqnarray}$ ein passendes $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ finden. Für den anderen Fall habe ich gerade keine Idee

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