Konvergenz rekursiver Folge

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enzo21 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz rekursiver Folge
Zu untersuchen ist (1) die Konvergenz der Folge und (2) ggf. den Grenzwert berechnen.

Die Vorschrift lautet:

und

Um Konvergenz zu zeigen, kann man ja einmal Beschränkheit und Monotonie zeigen.

Beschränkheit:

Ich vermute 2 ist eine obere Schranke, per Induktion...

Induktionsanfang:

n=2 ---> was offensichtlich ist.

Induktionsvoraussetzung:

Die Aussage sei für ein festes aber beliebiges n wahr.

Induktionsschritt :

n-->n+1 --->



..



Somit ist die Aussage per Induktion gezeigt.

Monotonie:

Vermutung:

IA:

n=2 --->



..



IV: Die Aussage sei für ein festes aber beliebiges n wahr.

IS:

n--> n+1




Sind die Schritte nachvollziehbar bzw. richtig? Wie mache ich hier am besten weiter..? Wenn ich das gezeigt habe, wie rechne den Grenzwert aus?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von enzo21
IS:

n--> n+1


Für mich sieht das so aus, als schreibst du einfach nur die Induktionsbehauptung hin. Du musst sie aber beweisen, basierend auf der Induktionsvoraussetzung.
enzo21 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich falsch ausgedrückt. Ab da bin ich nicht mehr sicher wie ich sie eben beweiesen soll.









Das was ich hier mache sieht für mich sehr merkwürdig aus.. verwirrt

Und wenn es doch richtig ist, wie mache ich das mit dem Grenzwert?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Beweis benötigen wir die Pfeile aber in der anderen Richtung, was hier glücklicherweise klappt. Dieselbe Ungenauigkeit in der Argumentation hattest du oben auch schon beim Induktionsschritt des Beschränktheitsbeweis:

Dort war aus dann zu folgern, nicht umgekehrt. unglücklich
enzo21 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich vermute doch , beweise es für einen Fall (n=2 und n=1 ist klar) und gucke(beweise) mir dann und analog bei der Monotonie.. oder??


Du meinst diese Vorgehensweise ist die umgekehrte Richtung was hier glücklicherweise klappt? Das sehe ich grad nicht traurig , wie sähe es denn aus?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

War ich denn nicht deutlich genug?

Beim obigen Beschränktheitsbeweis ist im Induktionsschritt aus der Gültigkeit von die Gültigkeit von zu folgern.

Genauso ist beim Monotoniebeweis im Induktionsschritt aus der Gültigkeit von die Gültigkeit von zu folgern.

So, und nun schau dir mal die Richtung deiner Implikationspfeile an - also ich sehe da nur . Wenn man sich die dort getätigten Ungleichungsumformungen aber genauer anschaut, so sind das alles äquivalente Umformungen, somit ist auch das tatsächlich benötigte (!) mit dabei. Wenn das nicht der Fall wäre, würde der Beweis so nicht klappen. unglücklich
 
 
enzo21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich sehe was du sagst. Also habe ich eigentlich ja trotzdem alles was ich brauche.

Da jetzt Konvergenz gezeigt ist kann ich aus eine Gleichung aufstellen und nach a auflösen, was 2 als Grenzwert ergeben würde. Richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, du führst in Gleichung den Grenzübergang durch und nutzt dabei rechts, dass



wegen der Stetigkeit der Funktion gerechnet werden kann.
enzo21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit der richtigen Schreibweise so gemeint.

Dann ist alles erledigt. Vielen Dank für deine Hilfe!
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