Elemente in Restklassengruppe

25.11.2018, 15:00	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente in Restklassengruppe Hallo, ich soll die Elemente der Restklassengruppe bestimmen bzw. eigentlich ob darin Generatoren enthalten sind. Dabei beispielsweise folgendes: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/12\mathbb Z)^{} \end{eqnarray*}$ Die Anzahl der Elemente lässt sich ja relativ einfach mittels der Phi Funktion bestimmen. Aber welche Elemente darin enthalten sind oder welche davon Generatoren sind, finde ich nur durch ausprobieren heraus oder gibt es hier einen systematischen Ansatz? Danke!
25.11.2018, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente sind die zu $\begin{eqnarray} 12 \end{eqnarray}$ relativ primen Restklassen $\begin{eqnarray} \overline 1,\overline 5,\overline 7,\overline 11 \end{eqnarray}$ . Drei Zahlen zu quadrieren ist kein übertriebener Aufwand. Viele Generatoren wirst du dabei nicht finden.
25.11.2018, 18:57	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, aber wie kommst du auf 5,7,11? Ich mein klar, bei der Zahl 12 funktioniert ja sowas mit "hinsehen". Wenn ggt(12,x) = 1 habe ich das gefunden. Nur wen nich nun Z394 hätte - müsste ich eigentlich sehr viele Divisionen durchführen um auf meine Elemente zu kommen oder?
25.11.2018, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
394=2*197 hat genau 2 Primfaktoren, das ist doch wohl kein so großes Problem. Prime Restklassen sind die ungeraden Zahlen ausser 197. Für richtig große Zahlen begnügt man sich sowieso mit der Theorie, für winzige Zahlen mit weniger als 1000 Ziffern gibt es Computerunterstützung.
25.11.2018, 19:13	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, aber das bedeutet, man muss es "ausprobieren"/"durchtesten". Danke!
25.11.2018, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem meiner Lieblingsbücher von Helmut Hasse "Vorlesungen über Zahlentheorie" Springer Verlag 1950 steht im §5 "Die Struktur der primen Restklassengruppen." einiges interessantes. Prime Restklassengruppen mod m sind das direkte Produkt der primen Restklassengruppen mod p^n für die Primteiler p von m. Im Abschnitt 3 sagt er aber "Ein systematisches Rechenverfahren zur Bestimmung einer primitiven Wurzel mod p, etwa der kleinsten, ist nicht bekannt. Man ist daher auf Probierverfahren angewiesen." Stand heute ??? Ich weiß es nicht .
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