f(x,y)= |x|^a |y|^a / (x^2+y^2) für a>0 stetig

26.11.2018, 06:07	Bubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x,y)= \|x\|^a \|y\|^a / (x^2+y^2) für a>0 stetig Meine Frage: Hi, ich hänge an der im Titel beschriebenen Aufgabe. Hier nochmal in schön: Für a>0 soll die Stetigkeit untersucht werden $\begin{eqnarray} f(x,y):=\frac{\|y\|^a\|x\|^a}{x^2+y^2}~für~ (x,y)\ne (0,0)~und~andernfalls~f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für a kleiner gleich eins habe ich denke ich bereits die Stetigkeit von f widerlegt. Ich habe x=y gesetzt und x für f(x,x) gegen 0 laufen lassen. Dabei kam raus, dass der Grenzwert nicht f(0,0) ist. Leider fällt mir gerade nichts für a>1 ein, hat irgendwer vielleicht einen Tipp? Grüße, Bubbles
26.11.2018, 06:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht so: Für $\begin{align} x \neq 0 \end{align}$ und $\begin{align} y \neq 0 \end{align}$ erhält man nach Kürzen durch $\begin{align} \|x\|\|y\| \end{align}$ das Folgende: $\begin{align} \frac{\|x\|^{a-1}\|y\|^{a-1}}{\frac{\|x\|}{\|y\|} + \frac{\|y\|}{\|x\|}} \end{align}$ Jetzt ist $\begin{align} f(t) = t + \frac{1}{t}, \, t>0 \end{align}$ nach unten beschränkt, wie man mit elementaren Methoden nachweisen kann.
26.11.2018, 15:40	bubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Ich bin ziemlich neu was das Thema angeht, was meinst du mit f(t)=t+ 1/t? Außerdem, ich habe gerade mal die Funktion für a=2 zeichnen lassen (siehe bild). Da geht ja die komplette Fläche nahtlos in den Punkt f(0,0) über. Wenn meine rein anschauliche Interpretation nicht falsch ist, dann sieh ja so eine stetige Funktion aus. Hast du oder irgendwer anders vielleicht einen Tipp wie man auf die Stetigkeit kommt?
26.11.2018, 17:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte die Hilfsfunktion nicht $\begin{align} f \end{align}$ nennen sollen, da ja der Name bereits vergeben ist. Also besser: $\begin{align} g(t) = t + \frac{1}{t} \, , \ t>0 \end{align}$ . Diese Funktion soll dir helfen, den Nenner $\begin{align} \frac{\|x\|}{\|y\|} + \frac{\|y\|}{\|x\|} \end{align}$ im umgeformten Funktionsterm (siehe meinen ersten Beitrag) nach unten abzuschätzen. Letztlich ist es das Ziel, für $\begin{align} a>1 \end{align}$ zu zeigen, da8 mit einer geeigneten Konstanten $\begin{align} c>0 \end{align}$ gilt: $\begin{align} 0 \leq f(x,y) \leq c \|x\|^{a-1} \|y\|^{a-1} \end{align}$ für alle $\begin{align} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{align}$ Für $\begin{align} x=0 \end{align}$ oder $\begin{align} y=0 \end{align}$ gilt die Abschätzung (es besteht sogar Gleichheit). Und für $\begin{align} x \neq 0 \end{align}$ und $\begin{align} y \neq 0 \end{align}$ hilft dir die Funktion $\begin{align} g \end{align}$ , die Konstante $\begin{align} c \end{align}$ zu finden. Eigentlich ist es gar nicht erforderlich, das bestmögliche $\begin{align} c \end{align}$ explizit zu bestimmen. Aber da das hier nicht schwer ist, kann man es auch tun. Die Abschätzung oben zeigt für $\begin{align} a>1 \end{align}$ die Stetigkeit von $\begin{align} f \end{align}$ im Nullpunkt. Überlege, warum.
27.11.2018, 00:30	bubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, okay. Ich war etwas verwirrt und dachte f(t) soll irgendwie die Stetigkeit widerlegen. Also es hat soweit geklappt, habe die Beschränktheit des Nenners gezeigt und die resultierende Ungleichung einfach als Stütze für das Epsilon-delta Kriterium benutzt. Vielen Dank für deine großartige Hilfe!

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