Wegintegrale

26.11.2018, 14:11	run27	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegrale Meine Frage: Ich soll $\begin{eqnarray} \int_{\gamma }^{} \! sin((1+i)z) \, dz \gamma (a) = i , \gamma (b) = 1+2i \end{eqnarray}$ integrieren. Ich habe auch die Lösung dazu. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, warum ich nicht die Grenzen einfach einsetzen kann? Warum muss ich parametrisieren und wie genau mache ich das? Meine Ideen: Wie gesagt, die Lösung und auch die Parametrisierung ist vorhanden - ich müsste es nur einfach verstehen. VG
26.11.2018, 15:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral hängt nicht vom Integrationsweg ab, da der Integrand eine Stammfunktion $\begin{align} F(z) \end{align}$ besitzt, nämlich welche? Daher kann das Integral wie im Reellen berechnet werden: $\begin{align} \int_{\gamma} \sin \left( (1 + \operatorname{i}) z \right) ~ \dd z \ = \ F(1 + 2 \operatorname{i}) - F(\operatorname{i}) \end{align}$
26.11.2018, 18:11	run27	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Die Stammfunktion kenne ich ja. Aber laut Lösung wurde hier parametrisiert. Wann parametrisiere ich? Und wie mache ich das?
26.11.2018, 21:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da man von $\begin{align} \gamma \end{align}$ nur die Randpunkte kennt, kann man nicht parametrisieren. Aber vielleicht hast du ja auch die Aufgabe korrumpiert und die Hälfte der Informationen weggelassen ...
26.11.2018, 21:56	run27	Auf diesen Beitrag antworten »
Weggelassen habe ich : Sei $\begin{eqnarray} \gamma: [a,b] -> C \end{eqnarray}$ die Strecke von $\begin{eqnarray} \gamma(a)=i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(b)=1+2i \end{eqnarray}$ Parametrisiert wurde laut Musterlösung. Aber kannst du mir erklären, wann man das macht?
27.11.2018, 12:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha! Habe ich mir's doch gedacht! Die Hälfte der Information hat gefehlt. Es geht nämlich nicht um irgendeine x-beliebige Kurve, sondern um die Strecke. Seit Euklid wissen wir, daß das die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist. Aus der Analytischen Geometrie der Schule kennst du die Parametrisierung einer solchen Strecke. Sind $\begin{align} A,B \end{align}$ mit den Ortsvektoren $\begin{align} \vec{a} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{b} \end{align}$ die Randpunkte der Strecke von $\begin{align} A \end{align}$ nach $\begin{align} B \end{align}$ (die Strecke hat also eine Richtung: "von" $\begin{align} A \end{align}$ "nach" $\begin{align} B \end{align}$ ), dann besitzen die Ortsvektoren $\begin{align} \vec{x} \end{align}$ der Streckenpunkte die Parameterdarstellung $\begin{align} \vec{x} = \vec{a} + t \left( \vec{b} - \vec{a} \right) \, , \ \ 0 \leq t \leq 1 \end{align}$ Aber das ist nur eine von unendlich vielen Möglichkeiten. Eine andere, die sich an der Streckenmitte ausrichtet, wäre $\begin{align} \vec{x} = \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) + t \left( \vec{b} - \vec{a} \right) \, , \ \ - \frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2} \end{align}$ Und in der komplexen Zahlenebene geht das genauso. Die komplexen Zahlen $\begin{align} a = \operatorname{i} \end{align}$ und $\begin{align} b = 1 + 2 \operatorname{i} \end{align}$ fungieren als Vektoren, der Parameter $\begin{align} t \end{align}$ ist eine reelle Zahl. Eine mögliche Parametrisierung der Strecke ist daher $\begin{align} z = a + t \left( b - a \right) \, , \ \ t \in [0,1] \end{align}$ Richtig bleibt dennoch, was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe. Da der Integrand eine Stammfunktion $\begin{align} F \end{align}$ besitzt, kann man das Integral gleich mittels $\begin{align} F(b) - F(a) \end{align}$ ausrechnen. Wenn ihr das aber noch nicht hattet, dann bleibt dir nur der Weg, das Integral über die Parametrisierung zu berechnen.
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