Beweis durch vollständige Induktion

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BudPow Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch vollständige Induktion
Meine Frage:
Hallo,
ich soll folgende Aussage per vollständigen Induktion beweisen:

1+(1/2)+...+(1/n) < 2*Wurzel(n) für alle n Element N

Meine Ideen:
Induktionsanfang habe ich gezeigt, dass die Aussage für n=1 gilt.
Als Induktionsvoraussetzung habe ich: Es gelte die Aussage für ein beliebiges aber festes n Element N, d.h. es gelte 1+(1/2)+...+(1/n)<2*Wurzel(n)
Als Induktionsbehauptung habe ich: Dann gilt die Ausssage auch für n+1, also:
1+(1/2)+...+(1/n)+(1/n+1)<2*Wurzel(n+1)

Leider fehlt mir für den Induktionsbeweis die Idee..
Könnt ihr mir weiterhelfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BudPow
1+(1/2)+...+(1/n) < 2*Wurzel(n) für alle n Element N

Sicher, dass das die tatsächliche Behauptung ist? Weil man ja sogar das deutlich stärkere

für alle .

beweisen kann - deins ist dann wegen eine lockere Folgerung dieser Aussage (*). verwirrt
BudPow Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich bin mir ganz sicher. So stehts auf dem Aufgabenblatt den ich von meiner Dozentin bekommen habe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dir dennoch raten, (*) nachzuweisen, weil dort der Induktionsschritt fast noch einfacher zu bewältigen ist:

Induktionsschritt :



Diese Ungleichungskette ist der eigentliche Kerninhalt des Induktionsschrittes. basiert auf der Induktionsvoraussetzung, und schafft den Übergang zur Induktionsbehauptung.

Aber das habe ich nicht grundlos mit einem Fragezeichen versehen, denn dieser Teil ist noch nachzuweisen, sonst bricht das ganze Argumentationsgebäude zusammen. Schon mal eine solche Ungleichung nachgewiesen?
BudPow Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank dir schonmal für deine Hilfe Hal 9000!

Leider habe ich noch nie eine solche Ungleichung bewiesen. Leider habe ich auch gar keine Idee wie ich das anstellen könnte. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine mögliche Methode (so sie denn funktioniert) ist, solange die Ungleichung äquivalent (!) umformen, bis eine wahre Aussage erkennbar ist. Durch die Äquivalenz kann man diese Folge von Ungleichungen dann nämlich in umgekehrter Reihenfolge lesen, was die anfängliche Ungleichung beweist. Fangen wir mal an:

.
 
 
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