Infimum und Supremum

Neue Frage »

26.11.2018, 17:54	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum und Supremum Hallo zusammen, ich sitze vor folgender Aufgabe bei der ich überhaupt nicht weiterkomme: Bestimme, falls existent, Infimum, Supremum, Maximum und Minimum der folgenden Mengen: a) $\begin{eqnarray} M_{1}=\left\{ x\in\mathbb R :\| x \| <\| x+1 \| \right\} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} M_{2}=\left\{ \frac{\sqrt{x+y} }{xy}:x,y\in \mathbb R ,x,y\geq 1 \right\} \end{eqnarray}$ Mir ist auch noch nicht ganz klar, was Infimum, Supremum, Maximum und Minimum einer Menge überhaupt sind.. Vielleicht könnte mir jemand das allgemein/an den Beispielen erklären. Schon mal vielen Dank für eure Hilfe
26.11.2018, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mir sagst, welche reellen Zahlen zu $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ gehören und welche nicht, sage ich dir, was die Begriffe bedeuten und was das in diesem Fall heißt.
26.11.2018, 22:07	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich nicht vertan habe, gehören alle Zahlen > -0,5 zur Menge M1?
27.11.2018, 07:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch, genau das ist das Problem. Bevor man spezielle Zahlen berechnen kann, muss man die Mengen kennen.
27.11.2018, 07:52	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir dann vielleicht auf die Sprünge helfen?
27.11.2018, 07:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze viele Zahlen für x in die Ungleichung ein, dann erkennst du, was dazu gehört und was nicht. Sorry, du hast recht. Ich sollte vor dem Frühstück nicht versuchen, Mathematik zu machen.
Anzeige

27.11.2018, 10:03	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok hab mich schon gewundert Was bedeutet das dann jetzt für Infimum & co?
27.11.2018, 10:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hilft meistens ein Blick in die Definition. Wie ist z.B. das Infimum definiert?
27.11.2018, 11:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (M\le) \end{eqnarray}$ geordnete Menge. $\begin{eqnarray} N\subseteq M \end{eqnarray}$ Teilmenge. $\begin{eqnarray} min \in N \end{eqnarray}$ heißt ein Minimum von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} min\le n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} max \in N \end{eqnarray}$ heißt ein Maximum von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} n\le max \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} s\in M \end{eqnarray}$ heißt untere Schranke von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} s\le n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} inf(N)=max\{s\|s \end{eqnarray}$ ist untere Schranke von $\begin{eqnarray} N\} \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} N\subseteq\mathbb R \end{eqnarray}$ nicht nach unten beschränkt, setzt man $\begin{eqnarray} inf(N)=-\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S\in M \end{eqnarray}$ heißt obere Schranke von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} n\le S \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} sup(N)=min\{S\|S \end{eqnarray}$ ist obere Schranke von $\begin{eqnarray} N\} \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} N\subseteq\mathbb R \end{eqnarray}$ nicht nach oben beschränkt, setzt man $\begin{eqnarray} sup(N)=+\infty \end{eqnarray}$ Nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen hat ein Minimum oder Maximum. Wenn ein Minimum oder Maximum einer Teilmenge der reellen Zahlen existiert, ist es eindeutig und gleich dem Infimum oder Supremum. Jede Teilmenge der reellen Zahlen hat genau ein Infimum und genau ein Supremum (das erreicht man dadurch, dass man die nichtreellen $\begin{eqnarray} \pm\infty \end{eqnarray}$ bei Bedarf dazunimmt).

Neue Frage »

Antworten »

Infimum und Supremum

Verwandte Themen