Komplexe Zahlen

26.11.2018, 19:14	Marko_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Meine Frage: Hallo, Meine Frage betrifft, was eigentlich der R^2 bzw. C ist, bzw. wie diese gesehen werden sollen: 1. z.B.: Wenn ich bloß "R" schreibe, meine ich damit die Menge der reellen Zahlen oder die Struktur? 2. Die Einführung der komplexen Zahlen geschieht durch: >>Elemente von C sind (a,b), mit a,b aus R. Die beiden Verknüpfungen auf der Menge sind : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) und (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc). Mit diesen Verknüpfungen auf der Menge kann ich nun leicht zeigen, dass C einen Körper bildet. Mit dieser Verknüpfung liegt allerdings auch ein C-Vektorraum vor. (Jeder Körper über sich selbst bildet einen Vektorraum. Wenn man nun die Skalarmultiplikation auf den Unterkörper von C, nämlich R einschränkt, dann erhält man ja genau die Skalarmultiplikation die man vom R^2 kennt. Insofern gibt es überhaupt keinen Unterschied zwischen dem R^2 und C über R. In meiner Vorlesung in complexe analysis wird von der Isomorphie zwischen diesen beiden Vektorräumen gesprochen, aber ich gehe noch weiter und sage, diese beiden Vektorräume sind genau gleich, da gleiche Verknüpfung und Elemente in R^2 auch Tupel von reellen Zahlen. Stimmt meine Idee? Ich wäre für Lösungsansätze sehr dankbar! Liebe Grüße Marko Meine Ideen:* Idee im Text geschildert.
26.11.2018, 19:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb C=\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist völlig identisch, da hast du recht. Das ist dieselbe Menge, und wenn man diese Menge mit Strukturen (Vektorraum, Körper) versieht, geht die Gleichheit nicht verloren. ABER: In der Algebra betrachtet man algebraische Strukturen immer nur bis auf Isomorphie. Den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ kann man auch auf andere Weise definieren, z.B. als den Quotientenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb C=\mathbb R[X]/(X^2+1) \end{eqnarray}$ des Polynomrings über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach dem Ideal $\begin{eqnarray} (X^2+1)=(X^2+1)\cdot \mathbb R[X] \end{eqnarray}$ , oder noch abstrakter als die Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb C=\mathbb R(i) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i^2=-1 \end{eqnarray}$ . Man betrachtet also den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ als die Isomorphieklasse aller zu $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ isomorphen Körper. Dabei ist es ganz egal, wie er definiert oder konstruiert wird. Man betrachtet den reellen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ als die Isomorphieklasse aller zu $\begin{eqnarray} \mathbb C\cong \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ isomorphen reellen Vektorräume der Dimension 2. Man betrachtet den komplexen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ als die Isomorphieklasse aller zu $\begin{eqnarray} \mathbb C\cong \mathbb C^1 \end{eqnarray}$ isomorphen komplexen Vektorräume der Dimension 1. Das ist wie in der Analysis. Reelle Zahlen sind Dezimalzahlen, Cauchyfolgen modulo Nullfolgen, dedekindsche Schnitte, Intervallschachtelungen oder man kann $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auch ganz abstrakt über seine Axiome definieren. Egal wie er entsteht, es ist immer derselbe Körper. Das gibt uns die Freiheit, für jedes Problem immer die Elemente des Körpers zu benutzen, mit denen wir das Problem am einfachsten lösen können. Für komplexe Zahlen benutzt man gerne die verschiedenen Darstellungen $\begin{eqnarray} z=(x, y) =x+iy=r(cos(\varphi) +i\sin(\varphi)) =\|z\|e^{i\varphi} \end{eqnarray}$
26.11.2018, 21:32	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, Vielen Dank für deine so ausführliche Antwort. Die Argumente mit der Körpererweiterung und Idealen habe ich leider nicht ganz verstanden, da ich nicht die Algebra Veranstaltung höre und Physiker bin. Aber in einfachen Worten gesagt, schreibt man immer das Isomorphzeichen, weil man den Körper der komplexen Zahlen auch anders einführen kann, als ich es oben getan habe? Ansonsten würde man ein Gleichheitszeichen verwenden zwischen R^2 und C über R? Vielen Vielen Dank! Liebe Grüße Marko
26.11.2018, 21:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Wenn du Physiker bist, dann kannst du die Bedeutung der komplexen Zahlen und der Funktionentheorie (=complex analysis) gar nicht hoch genug schätzen. Siehe dazu auch meinen bescheidenen Beitrag zu Möbiustransformationen.
26.11.2018, 22:19	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich hätte noch eine Frage in Bezug auf complex analysis: In unserer Vorlesung in complex analysis machen wir ständig eine Identifikation zwischen dem R^2 und C über R, und so wie es oben von dir erklärt wurde, sind diese Strukturen, wenn ich die komplexen Zahlen so einführe, wie ich es gemacht habe, genau gleich. Also wo ist dann der Fortschritt den man in der Vorlesung macht, wenn beide Strukturen R^2 und C sowieso gleich sind?
26.11.2018, 23:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Addition komplexer Zahlen ist dir R^2 - Vektorraumstruktur brauchbar, für die Multiplikation ist die Polardarstellung besser. Für den Körper C braucht man alle Grundrechenarten, höheren Rechenarten und viel mehr. Deshalb ist es ratsam, den Körper als eigene Struktur zu erkennen. Für die Funktionentheorie ist es notwendig, sonst verstehst du die neuen Konzepte nicht mehr. Komplexe Funktionen verhalten sich ganz anders als reelle Funktionen.
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26.11.2018, 23:15	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich denn einen Körper im Vektorraum C über R erkennen oder geht es um den Körper C über C?
27.11.2018, 07:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein VR ist im allgemeinen kein Körper. In C kann man multiplizieren, und damit wird C ein Körper.

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