Existenz der Stammfunktion

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26.11.2018, 20:09	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz der Stammfunktion Hallo, ich will folgendes Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \frac{1}{1+z^2} dz \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(a)=0, \gamma(b)=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pm i \notin \Gamma \end{eqnarray}$ Wenn ich das Intgral in Partialbrüche zerlege, bekomme ich sowas wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{z+i} \end{eqnarray}$ für ein Teilintgral. Wenn ich dann die Stammfunktion $\begin{eqnarray} ln (z+i) \end{eqnarray}$ bilde, komme ich das Ergebnis. Die Frage ist, ob diese Stammfunktion überhaupt exsistiert, denn im Komplexen existiert ja die Stammfuktion zu 1/z nicht überall?
26.11.2018, 20:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Aufgabe ist nicht wohlgestellt. Du liegst nämlich ganz richtig damit, dass die Stammfunktion nicht auf $\begin{eqnarray} \mathbb C\setminus\{i,-i\} \end{eqnarray}$ existiert und da kein expliziter Weg angegeben ist, lassen sich ohne weiteres verschiedene Wege mit unterschiedlichen Integralwerten angeben. Daher gibt es auch nicht das Ergebnis. Wenn du wirklich die Aufgabe so vollständig wiedergegeben hast und ein Ergebnis vorgegeben ist, dann liegt der Aufgabensteller falsch!
26.11.2018, 20:45	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es soll ein Vielfaches von pi/4 rauskommen. Dann geht das mit der Stammfunktion, da der log im komplexen ja nicht eindeutig ist?
26.11.2018, 20:52	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Aufgabe ist, dir irgendeinen Weg auszusuchen und damit das Integral zu berechnen, dann kannst du dir ja einen Weg in einem Gebiet aussuchen, auf dem dem eine Stammfuntkionexistiert. Da brauchst du aber gar keine komplexe Analysis. Es gibt ja einen Weg, der ganz auf der reellen Achse verläuft und die Stammfunktion ist dann einfach der Tangens (das geht übrigens auch im komplexen da, wo die Stammfunktion existiert, die Partialbruchzerlegung ist nicht nötig).
26.11.2018, 20:59	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Man soll leider die Partialbruchzerlegung machen. Ich habe die Strecke von 0 bis 1 genommen, Dann bekomme ich das gewünschte Ergebnis mit log(z+i) als Stammfunktion. Warum funktioniert das dann?
26.11.2018, 21:03	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte es nicht funktionieren? Ich weiß ja nicht, welchen Zweig des Logarithmus du gewählt hast, aber scheinbar war es einer, der in einem Gebiet, das [0,1] umfasst, tatsächlich eine Stammfunktion ist.
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26.11.2018, 21:15	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einfach in meine Stammfunktionen log(...) die Grenzen 1 und 0 eingesetzt und dann immer entprechend bei der Berechnung des komplexen log jeweils nach dem arg(z) noch 2k pi i addiert. Warum funktioniert das dann mit der Stammfunktion?
26.11.2018, 21:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum addierst du noch 2k pi i, entscheide dich doch für einen festen Zweig, nur dann wird es auch eine Stammfunktion. Wie meinst du das, warum das funktioniert mit der Stammfunktion? Ihr solltet gezeigt haben, dass man bei Existenz einer Stammfunktion Integrale so berechnen darf und das richtige herauskommt.
26.11.2018, 21:27	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du meinst, dass ich zb. k=1 wähle? Am Ende hatte ich mehrere Ausdrücke mit k 2pi i. Diese kann man zusammenfassen und erhält auch das Ergebnis ohne eine Zweig zu wählen. Das müsste doch gehen?
26.11.2018, 21:33	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob man das nun so machen darf oder nicht, ist wohl Ansichtssache, ich bin der Meinung, dass man, wenn man eine Stammfunktion verwenden will, auch eine hinschreiben sollte und nicht unendlich viele, aber das kann man wohl anders sehen. Natürlich hebt sich das am Ende wieder weg, es sind ja auch alles Stammfunktionen. Das ist so, wie wenn du bei einem reellen Integral immer +c dazuschreibst, selbst wenn es ein bestimmtes Integral ist, also etwa so: $\begin{eqnarray} \int_0^1 1dx = (x+c)\vert_{x=0}^1 \end{eqnarray}$ für irgendein $\begin{eqnarray} c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Braucht man einfach nicht, man wählt irgendeins aus, z.B. $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ und gut.
26.11.2018, 21:41	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso dann ist es nicht sauber, so zu argumentieren wie ich. Dann sollte ich einfach irgendein k fest wählen. Ich verstehe noch nicht den Zusammenhang. 1/z hat keine Stammfunktion. Aber wie passt das zusammen, wenn ich irgedein k fest wähle und damit einen Zweig des Logarthmus.Dann habe ich doch eine?
26.11.2018, 21:46	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1/z \end{eqnarray}$ hat schon eine Stammfunktion, wenn man das Gebiet entsprechend wählt. Auch der Logarithmus hat nicht auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion, man muss sich über das Gebiet schon Gedanken machen. Sagmal, das müsst ihr doch besprochen haben, wenn dir der komplexe Logarithmus bekannt ist, Stichwort geschlitzte Ebene etc. Habt ihr das nicht gemacht oder hast du das alles wieder vergessen
26.11.2018, 21:56	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon. 1/z hat eine Stammfunktion, wenn man die reelle Achse wegnimmt. Aber mein gewählter Weg zwischen 0 und 1 ist liegt genau auf der rellen Achse. D.h dann bekomme ich keine eindeutige Stammfunktion wegen der 2pi i-Periodizität?
26.11.2018, 21:58	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, bei $\begin{eqnarray} 1/z \end{eqnarray}$ ist es die reelle Achse, wenn man das um $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ verschiebt, ist es natürlich die verschobene reelle Achse, wo $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ dann nicht mehr drauf liegt. Edit: Eindeutige Stammfunktionen gibt es übrigens eh nicht, du kannst immer um eine konstante Zahl verschieben.
26.11.2018, 22:14	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso deshalb funktionert das dann mit dem log als Stammfunktion. Aber kann ich dann auch nicht mein c als das 2kpi i interpretieren?
26.11.2018, 22:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind eigentlich zwei verschiedene Dinge. $\begin{eqnarray} z\mapsto \log(\|z\|)+i\arg(z)+2k \pi i \end{eqnarray}$ ist für jedes $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ eine Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und $\begin{eqnarray} z\mapsto \log(\|z\|)+i\arg(z)+c \end{eqnarray}$ ist für jedes $\begin{eqnarray} c\in\mathbb C \end{eqnarray}$ , wenn man das Gebiet entsprechend wählt, eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac 1z \end{eqnarray}$ . Beide haben additive Konstanten dabei, aber eigentlich hat das eine nicht viel mit dem anderen zu tun, bloß sagt einem die additive Konstante der Stammfunktion nochmal mehr, wie egal das $\begin{eqnarray} 2k \pi i \end{eqnarray}$ bei der Stammfunktion ist.
26.11.2018, 22:32	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke jetzt habe ich er verstanden Vielen lieben Dank Gruppi12

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