Vollständige Induktion 2^n>n

26.11.2018, 21:06	nnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion 2^n>n Meine Frage: Hallo zusammen, ich stehe vor dem Problem mit der vollständigen Induktion die o.g. Aufgabe zu zeigen. Habe als Induktionsanfang 2^1>1 Als Induktionsbehauptung 2^(n+1)>n+1. Und dann im Induktionsschluss mit Hilfe der Potenzgesetze 2^(n+1)=2^n2^1 2^n2>n+1 geschrieben. Bei der letzten Ungleichung habe ich als Kommentar, dass ich dies zeigen müsse. Ist dies soweit das vollständige Endergebnis was es zu zeigen gilt? Wenn ja, fehlt mir ein Zwischenschritt, welchen ich übersprungen habe? Ich weiß nicht, was daran lückenhaft sein soll. Vielen Dank schonmal im Voraus Meine Ideen: 2^(n+1)=2^n*2^1 getrennt nochmal aufschreiben? statt direkt in der Ungleichung umzuformulieren?
26.11.2018, 21:08	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wo hast du denn gezeigt, dass $\begin{eqnarray} 2^n2 > n+1 \end{eqnarray*}$ gilt? Ich sehe das auch nicht, du hast es doch nur hingeschrieben, aber nicht gesagt, wieso das gilt. Der Beweis ist daher doch ganz klar lückenhaft.
26.11.2018, 21:19	nnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es nicht bereits gezeigt, dass 2^n2>n+1 ist, wenn man mit Hilfe der Potenzgesetze sagt: 2^(n+1)=2^n2?
26.11.2018, 21:26	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt, dass $\begin{eqnarray} 2^{n+1}= 2\cdot 2^n \end{eqnarray}$ ist, richtig. Aber du weißt weder, dass $\begin{eqnarray} 2^{n+1}>n+1 \end{eqnarray}$ gilt, noch dass $\begin{eqnarray} 2\cdot 2^n>n+1 \end{eqnarray}$ gilt, mindestens eines der beiden Sachen musst du also zeigen. Was hat die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} 2^{n+1} = 2\cdot 2^n \end{eqnarray}$ ist, damit zu tun, dass das beides größer als $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ ist? Inwiefern soll dann das Hinschreiben dieser Tatsache beweisen, dass $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2\cdot 2^n \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ ist? Edit: Vielleicht verwechselst du auch die Induktionsbehauptung mit der Induktionsvoraussetzung. Die Induktionsbehauptung musst du zeigen, die Induktionsvoraussetzung darfst du, wie der Name sagt, voraussetzen. Die Induktionsvoraussetzung ist hier $\begin{eqnarray} 2^n>n \end{eqnarray}$ für irgendein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Damit ist nun die Induktionsbehauptung zu zeigen, die du richtig hingeschrieben hast: $\begin{eqnarray} 2^{n+1}>n+1 \end{eqnarray}$ , das ist aber zu zeigen, nicht zu verwenden.
26.11.2018, 21:50	nnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hättest du eventuell einen Denkanstoß, was der nächste Schritt bzw. der fehlende in der Behauptung wäre?
26.11.2018, 22:00	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, der Anfang war ja gut. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} 2^{n+1}>n+1 \end{eqnarray}$ . Du fängst so an: $\begin{eqnarray} 2^{n+1} = 2\cdot 2^n \end{eqnarray}$ . Jetzt benutzt du die Induktionsvoraussetzung, das ist nämlich gemäß dieser größer als $\begin{eqnarray} 2\cdot n \end{eqnarray}$ . Du hast also bisher $\begin{eqnarray} 2^{n+1} = 2\cdot 2^n \overset{IV.}{>} 2n \end{eqnarray}$ . Es fehlt nur noch $\begin{eqnarray} 2n\geq n+1 \end{eqnarray}$ , dann bist du fertig, dafür musst du dir noch ein Argument überlegen.
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26.11.2018, 22:25	nnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt seh ich es. Danke

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