Beweis durch vollständige Induktion

27.11.2018, 16:22

FelixRTU

Beweis durch vollständige Induktion

Meine Frage:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass folgende Gleichung für alle
natürlichen Zahlen n >= 1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . (mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Binomialkoeffizient gemeint)

Meine Ideen:
IA:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{1}(-1)^0*\frac{1!}{(1-0)!0!}+(-1)^1*\frac{1!}{(1-1)!1!}=0 \end{eqnarray*}$

IV:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!k!}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!k!}+(-1)^{n+1}\frac{n!}{(n-(n+1))!(n+1)!}=0 \end{eqnarray*}$

jetzt könnte ich ja IV einsetzen, was aber keinen Sinn ergibt.
$\begin{eqnarray*} 0+(-1)^{n+1}\frac{n!}{(n-(n+1))!(n+1)!}=0 \end{eqnarray*}$

27.11.2018, 16:34

HAL 9000

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Sinnvoller wäre eigentlich, den Binomischen Satz $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \end{eqnarray*}$ per Vollständiger Induktion zu zeigen, und deine Behauptung hier dann als einfache Folgerung zu betrachten, nämlich für die Werte $\begin{eqnarray*} a=-1,b=1 \end{eqnarray*}$ .

27.11.2018, 17:59

FelixRTU

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \end{eqnarray*}$

Du hattest da einen kleinen Dreher, muss heißen: $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \end{eqnarray*}$

Ich komme allerdings auf genau das Selbe wie vorher:

$\begin{eqnarray*} 0+(-1)^{n+1}\frac{(n+1)!}{(n+1)!}=0 \end{eqnarray*}$ (Veränderungen: das n! musste (n+1)! sein und ich habe es zusammengefasst)

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n+ b^{n+1}\frac{(n+1)!}{(n+1)!}=0 \end{eqnarray*}$

Edit: Denkfehler, muss erneut rechnen :/

27.11.2018, 18:54

HAL 9000

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Gründlich nachdenken, bevor man altkluge Verbesserungsvorschläge macht...

Zitat:

Original von FelixRTU
Du hattest da einen kleinen Dreher, muss heißen: $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \end{eqnarray*}$

Nein, kein Dreher - beides ist richtig. Augenzwinkern

27.11.2018, 19:19

mYthos

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RE: Beweis durch vollständige Induktion

Zitat:

Original von FelixRTU
... dass folgende Gleichung für alle
natürlichen Zahlen n >= 1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
...

Hier steht keine Gleichung, auch nicht in der IV

mY+

27.11.2018, 19:31

FelixRTU

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RE: Beweis durch vollständige Induktion

Zitat:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass folgende Gleichung für alle
natürlichen Zahlen n >= 1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

27.11.2018, 20:39

FelixRTU

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RE: Beweis durch vollständige Induktion
Also ich habe das mal im Netz nachgeschlagen, man muss ja das Rad nicht neu erfinden.

de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_Ringe:_Binomischer_Lehrsatz

Trotzdem danke für die Unterstützung.

27.11.2018, 21:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von FelixRTU
Also ich habe das mal im Netz nachgeschlagen, man muss ja das Rad nicht neu erfinden.

Naja, davon war doch die ganze Zeit die Rede! Was hast du denn gedacht. smile

27.11.2018, 23:03

Guppi12

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Kleiner Hinweis:

Als Studi muss man das Rad eben doch neu erfinden. Du wirst so ziemlich jede Übungsaufgabe aus den ersten zwei Semestern irgendwo online finden. Wenn du die immer mit einem Hinweis auf das Rad abschreibst, gehst du nach diesen zwei Semestern freiwillig von der Uni.

28.11.2018, 11:04

FelixRTU

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Danke für deinen Hinweis, ich löse so gut wie alle Aufgaben selbst. Nun ist es aber so, dass die Aufgaben, welche ich bekomme, nicht nur das Vorlesungsmaterial abdecken, sondern immer/meistens noch etwas Neues vermitteln. Dies trifft auch auf diese Aufgabe zu. Hätte ich die Lösung nicht gehabt, wäre dieser Post warscheinlich sehr lang geworden, weil mir manche Operationen mit Summenzeichen vollkommen unbekannt waren. Die Lösungen bekomme ich von der Uni nämlich nicht, warum auch immer.

Fr

28.11.2018, 11:18

Elvis

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Das ist doch klar. Du bekommst die Lösungen nicht, damit du selbst nachdenken musst. Im richtigen Leben bekommst du auch keine Lösungen. Du bekommst später einmal Probleme gestellt, für die niemand Lösungen kennt, und du musst die Probleme lösen. Wenn für alle Aufgabe Lösungen bekannt wären, bräuchte man keine Mathematiker mehr.

28.11.2018, 12:42

klarsoweit

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Trotzdem frage ich mich, wenn ich dieses lese:

Zitat:

Original von FelixRTU
weil mir manche Operationen mit Summenzeichen vollkommen unbekannt waren.

ob die Uni genügend Handwerkszeug vermittelt. Meines Erachtens darf da auch von den Dozenten ein gewisses Maß an Sorgfalt erwartet werden.

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