Integral

27.11.2018, 23:16

CauchyMathe13

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Integral

Hallo,

wenn ich das komplexe Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz \end{eqnarray*}$ berechen will und mein a liegt außerhalb von meiner geschlossenen Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ,warum ist das Integral dann 0?

27.11.2018, 23:30

HAL 9000

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Du redest von einer auf einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ (welches die geschlossene Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ umfasst) holomorphen Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch nicht in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{f(z)}{z-a} \end{eqnarray*}$ dort holomorph!

27.11.2018, 23:35

CauchyMathe13

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du redest von einer auf einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ (welches die geschlossene Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ umfasst) holomorphen Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ?

Ja genau

smile

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch nicht in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{f(z)}{z-a} \end{eqnarray*}$ dort holomorph.

Das ist doch so, da f auf G holomorph ist . z und a ja auch holomorph, dann ist die Zusammensetzung holomorph. Dann exisistiert doch eine Stammfunktion und das ist gleichbedeutend damit, dass das Integral über eine geschlossene Kurve um a verschwindet. Aber a soll ja gerade nicht darin liegen?
Also irgendwas bringe ich durcheinander?

27.11.2018, 23:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von CauchyMathe13
Aber a soll ja gerade nicht darin liegen?

Wenn man "aber" verwendet, will man damit irgendwas ausdrücken. Mir ist nicht klar, was das hier sein soll. unglücklich

unglücklich

Die Frage ist doch, ob $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-a} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ holomorph ist - da könnte ja evtl. etwa damit zu tun haben, ob $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in diesem Gebiet liegt oder nicht. Vielleicht hilft ja das, deine wirren Gedanken zu ordnen.

27.11.2018, 23:50

CauchyMathe13

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Ne ich sehe es gerade nicht. Ich verstehe auch gerade nicht, was das z im Nenner nochmal genau ausdrückt.
Kannst du das bitte richtig stellen verwirrt

verwirrt

28.11.2018, 00:08

Guppi12

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Vielleicht mal eine Nacht drüber schlafen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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28.11.2018, 00:23

CauchyMathe13

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Ich würde es gerne verstehen. Ich komme nicht dahinter. Was ist der entscheindende Punkt, dass die Holomorphie dann verletzt wird, je nachdem wo man ist?

28.11.2018, 01:16

CauchyMathe13

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Wenn a nicht in G liegt, dann soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-a} \end{eqnarray*}$ holomorph sein. Warum ist das nicht so, wenn a in G liegt?

28.11.2018, 08:07

HAL 9000

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Ist das wirklich so schwer? Da fragt man sich schon, wie viel bzw. wie wenig du überhaupt schon über komplexe Funktionen nachgedacht hast. Wenn man sich die Frage oben anschaut, kann es ja irgendwie nicht erst die erste Vorlesungsstunde gewesen sein.

Betrachte doch mal speziell das Verhalten dieser Funktion $\begin{eqnarray*} z\mapsto\frac{1}{z-a} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} z=a \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich nur relevant, wenn $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ ist...

28.11.2018, 08:11

CauchyMathe13

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Dann wäre ja der Nenner 0 und damit ist deine genannte Abbildung nicht holomorph.

Ich habe gedacht, dass das a ein Punkt ist, der von einer geschlossenen Kurve berandet wird. Das variert doch auf dem Rand der Kurve.
Wie kann dann der Fall a=z eintreten?

28.11.2018, 08:20

HAL 9000

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Was denkst du denn, warum wir die ganze Zeit nicht nur über $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , sondern über das gesamte Gebiet reden? Kennst du den Inhalt des Cauchyschen Integralsatzes? Da ist nicht nur wichtig, was auf der Kurve passiert, sondern auch in dem von der Kurve berandetem Gebiet. unglücklich

unglücklich

28.11.2018, 08:57

CauchyMathe13

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Also wenn f in meinem Gebiet holomorph ist, muss ich noch schauen ob der Nenner es ist. Dann würde der Integralsatz den Wert 0 liefern. Wenn a außerhalb des Gebietes liegt, Kann z-a nicht 0 sein, da z auf der Kurve gamma kariert. Damit kann man sind doch die Voraussetzungen erfüllt und man kann das geschlossene Kurvenintegral über eine beliebige andere Kurve bilden was 0 ist.

28.11.2018, 09:06

CauchyMathe13

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Also wenn f in meinem Gebiet holomorph ist, muss ich noch schauen ob der Nenner es ist. Dann würde der Integralsatz den Wert 0 liefern. Wenn a außerhalb des Gebietes liegt, kann z-a nicht 0 sein, da z auf der Kurve gamma variiert. Damit sind doch die Voraussetzungen erfüllt und man kann man Kurvenintegral über einen holomorphe Intrgrandeen bilden, was dann Null ist.
Aber verstehe ich das richtig, dass dann a nicht umschlossen wird?

28.11.2018, 09:54

HAL 9000

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Ja, der komplette Gedankengang ist so:

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ liegt nach Voraussetzung innerhalb eines Holomorphiegebiets $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nun außerhalb des von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ umrandeten Gebiets liegt, dann finden wir ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G\subset H \end{eqnarray*}$ so, dass immer noch $\begin{eqnarray*} \gamma\subset G \end{eqnarray*}$ zutrifft, aber zudem auch $\begin{eqnarray*} a\not\in G \end{eqnarray*}$ erfüllt ist (d.h. wir müssen $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ evtl. etwas verkleinern, damit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch garantiert außerhalb der so entstandenen Verkleinerung $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt).

Und auf diesem (ggfs. verkleinerten) Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist nun auch $\begin{eqnarray*} f(z)\cdot \frac{1}{z-a} = \frac{f(z)}{z-a} \end{eqnarray*}$ holomorph, und der Cauchysche Integralsatz damit darauf anwendbar.

29.11.2018, 09:50

CauchyMathe13

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Vielen Dank Hal9000.
Tut mir leid für die späte Antwort.

Wenn ich z.b folgenden Integranden betrachte $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{z-i} \end{eqnarray*}$ und ich betrachte $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=1+e^{it} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [0, \2 \pi] \end{eqnarray*}$

Dann ist doch der Zähler als konstante Funktion in ganz C holomoprh. Ich kann dann ein Gebiet finden, das Gebiet bis zur Kreislinie, indem´der Zähler immernoch holomoprh ist und i nicht in diesem Gebiet liegt.
Ist das so richtig?

29.11.2018, 10:29

HAL 9000

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Richtig. Naheliegend wäre es, den Kreis nur ganz geringfügig zu vergrößern, also z.B.

$\begin{eqnarray*} G = B(1,1.1) = \left\{ z\in \mathbb{C} \bigm| |z-1|<1.1 \right\} \end{eqnarray*}$

Wichtig ist nur, dass der Kreisradius größer als 1 und kleiner als $\begin{eqnarray*} |i-1| = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist.

29.11.2018, 11:26

CauchyMathe13

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Du vergrößert den Kreis etwas, damit auch gamma sicher drin ist. Also nicht nur auf dem Rand liegt odee

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