Lipschitz-Stetigkeit

28.11.2018, 20:19	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit Hallo die Aufgabe im Bild; zu a) ich muss zeigen das es ein $\begin{eqnarray} L>0 \end{eqnarray}$ gibt sodass $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(x,y_1)\| \le L\|y-y_1\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(x,y_1)\|=\|\sqrt{xy}-\sqrt{xy_1}\|=\|\sqrt{xy}-\sqrt{xy_1}\|(\|\sqrt{xy}+\sqrt{xy_1} )/ (\sqrt{xy}+\sqrt{xy_1})\|=\|x\|\|y-y_1\|/\|(\sqrt{xy}+\sqrt{xy_1})\| \end{eqnarray}$ weil x positiv ist der Betrag gleich x und der betrag der wurzeln kann icha cuh weglassen da x,y,y1 alle positiv sind. herausheben und kürzen ergibt : $\begin{eqnarray} \sqrt{x}\|y-y_1\|/(\sqrt{y}+\sqrt{y_1}) \end{eqnarray}$ weil die wurzel monoton steigend ist und $\begin{eqnarray} y,y_1 \ge \epsilon \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} x \le a \end{eqnarray}$ kann ich abschätzen : $\begin{eqnarray} \le \sqrt{a}/(2\sqrt{\epsilon})\|y-y_1\| \end{eqnarray}$ es ist dann $\begin{eqnarray} L:=\sqrt{a}/(2\sqrt{\epsilon})>0 \end{eqnarray*}$ zu b ) ich kann analog vorgehen aber wie mache ich das Wenn man ganz R hat ... gibts vl welche Sätze ? oder hilft mir a )?

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