Isometrischen Isomorphismus finden

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28.11.2018, 22:12	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrischen Isomorphismus finden Hallo ich höre aktuell die Funktionalanalysis und tue mich sehr schwer damit. Deshalb auch direkt meine Frage Die Aufgabe ist: [attach]48421[/attach] Meine Ideen: Ich muss zeigen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi:l^{\infty}\rightarrow (l^{1})' \end{eqnarray}$ 1) linear 2) bijektiv 3) isometrisch ist. Ich weiß jetzt ehrlich gesagt gar nicht, was die Abbildung überhaupt macht Für die Linearität zum Beispiel muss ich mir ja zwei Folgen wählen, nehme ich $\begin{eqnarray} (x_{n}^{1})_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_{n}^{2})_{n} \end{eqnarray}$ . Nun ist doch $\begin{eqnarray} \Phi(x_{n}^{1}) = ... \end{eqnarray}$ Ja und das ist jetzt genau meine Frage. Das ist doch jetzt kein Vektor der da rauskommt? Ich verstehe nicht, was für eine Rolle da jetzt $\begin{eqnarray} y_{n} \end{eqnarray}$ spielt. Wenn ich das doch wenigstens raffen würde
28.11.2018, 22:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man Funktionalanalysis studiert sollte man sich nicht wundern, wenn eine Funktion einer Folge X ein Funktional zuordnet. Dieses Funktional wiederum ordnet jeder Folge Y einen Skalar zu, wie es sein soll. Folgen sind Vektoren in Vektorräumen, deren Elemente Folgen sind.
28.11.2018, 22:53	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis. Ich nehme mir nun also: $\begin{eqnarray} (x_{n}^{1})_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_{n}^{2})_{n}\in l^{\infty} \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \Phi((x_{n}^{1}+x_{n}^{2})_{n}) = (\phi(x_{n}^{1}+x_{n}^{2})_{n} : l^{1}\rightarrow\mathbb K, (y_{n})_{n}\mapsto\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}^{1}+x_{n}^{2})_{n}y_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}^{1})_{n}y_{n} +\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}^{2})_{n}y_{n}) = \Phi(x_{n}^{1})_{n} + \Phi(x_{n}^{2})_{n} \end{eqnarray}$ Den Rest würde ich sehr gerne natürlich noch hinschreiben. Aber ich möchte hier erst schauen ob ich auf dem richtigen Weg bin.
29.11.2018, 08:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist richtig, die Ausführung braucht kleine Korrekturen. Wenn ich eine ordentliche Computertastatur habe, werde ich das heute vormittag noch eintippen. Prinzip : Man schreibt die Funktionsgleichung für alle Y und schließt daraus auf die Gleichheit der Funktionen.
29.11.2018, 11:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\forall (x_n^1)_n,(x_n^2)_n\in l^{\infty})\,(\forall (y_n)_n\in l^1)\,:\varphi_{(x_n^1+x_n^2)_n}(y_n)_n=\sum_{n=1}^{\infty}(x_n^1+x_n^2)y_n=\sum_{n=1}^{\infty}(x_n^1y_n+x_n^2y_n)=\sum_{n=1}^{\infty}x_n^1y_n+\sum_{n=1}^{\infty}x_n^2y_n=\varphi_{(x_n^1)_n}(y_n)_n+\varphi_{(x_n^2)_n}(y_n)_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (\forall (x_n^1)_n,(x_n^2)_n\in l^{\infty})\,:\Phi((x_n^1+x_n^2)_n)=\varphi_{(x_n^1+x_n^2)_n}=\varphi_{(x_n^1)_n}+\varphi_{(x_n^2)_n}=\Phi((x_n^1)_n)+\Phi((x_n^2)_n) \end{eqnarray}$
29.11.2018, 12:43	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieber Elvis, danke sehr für deine Hilfe! Ich gehe gerade schnell essen und setze mich dann wieder an die Aufgabe. Ich würde mich sehr freuen, wenn wir gemeinsam bei dem Rest schauen könnten, da ich mich damit noch sehr schwer tue. Ist das ok?
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29.11.2018, 19:23	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich habe das nachvollzogen und das fortgeführt. Das würde ich gerne am Ende alles gesammelt posten. Jetzt sitze ich gerade an der Isometrie. Dazu muss ich ja zeigen: $\begin{eqnarray} \|\|\Phi(x_{n})_{n}\|\|_{(l^{1})'}= \|\|(x_{n})_{n}\|\|_{l^{\infty}} \end{eqnarray}$ Also in meinem Fall heißt das doch: $\begin{eqnarray} \|\|\Phi(x_{n})_{n}\|\|_{(l^{1})'} = \sup\limits_{\|\|y\|\|_{\infty}=1}\|\Phi(x_{n})_{n}(y_{n})_{n}\| = \sup\limits_{\|\|y\|\|_{\infty}=1}\left\|\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n})_{n}(y_{n})_{n}\right\| \leq \sup\limits_{\|\|y\|\|_{\infty}=1}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\|(x_{n})_{n}(y_{n})_{n}\right\| \end{eqnarray}$ Ich weiß leider nicht wie ich weiterkomme. Ich möchte das gerne verstehen, deshalb frage ich so viel und einzelne Fragen. Bitte nehmt mir das nicht übel.
29.11.2018, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wissensdurst ist hochlöblich, wir freuen uns über jede intelligente Frage. Vielleicht kann hier ein Kollege übernehmen , sonst muss ich ein bißchen forschen und melde mich morgen wieder
29.11.2018, 20:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss auch gleich weg, kann dir aber gerne vorher noch einen Tipp geben und wenn Elvis wieder übernehmen will, ziehe ich mich gerne wieder zurück. Deine Abschätzung stimmt so nicht, du hast da was verwechselt. In der Norm auf $\begin{eqnarray} (\ell^1)' \end{eqnarray}$ wird das Supremum über alle $\begin{eqnarray} y\in \ell^1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|y\\|_1 = 1 \end{eqnarray}$ betrachtet, nicht über alle $\begin{eqnarray} y\in\ell^\infty \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|y\\|_\infty = 1 \end{eqnarray}$ . Abgesehen davon sind die Klammern in der Summe fehlplatziert. Es müsste $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty x_ny_n \end{eqnarray}$ heißen und natürlich genauso weiter hinten. Es werden nicht die Folgen multipliziert, sondern die Folgenglieder. Versuch das jetzt weiter abzuschätzen, indem du die Norm von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ins Spiel bringst, wie steht $\begin{eqnarray} \|x_n\| \end{eqnarray}$ für irgendein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|x\\|_\infty \end{eqnarray}$ in Verbindung. Alternative: Höldersche Ungleichung. Falls du damit die Ungleichung $\begin{eqnarray} \\|\Phi(x)\\|_{(\ell^1)'}\leq \\|x\\|_\infty \end{eqnarray}$ schon abschließen kannst, schau dir für die andere Richtung mal $\begin{eqnarray} \Phi(x)(e_n) \end{eqnarray}$ an. Dabei ist $\begin{eqnarray} e_n = (0,...,0,1,0,0,...) \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ter Stelle steht.

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