Isomorphie zweier normierter VR

28.11.2018, 22:34

MaPalui

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Isomorphie zweier normierter VR

Und da bin ich wieder smile

smile

Ich soll zeigen:
X,Y sind normierte Vektorräume. Wenn X und Y (isometrisch) Isomorph, dann X' und Y' (isometrisch) isomorph.

Meine Ideen:
Ich weiß also, dass X und Y isometrisch Isomorph sind.
Es gibt also eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi: (X,|| , ||_{X}) \rightarrow (Y,|| , ||_{Y}) \end{eqnarray*}$ , die ist:
1)linear
2)bijektiv
3)isomorph

Ich weiß ja nur, dass es eine gibt. Nun fällt es mir schwer, mit dieser "Unbekannten" zu hantieren.
Fangen wir doch an mit der Linearität.
$\begin{eqnarray*} \Phi(x_{1}+x_{2}) = \Phi(x_{1}) + \Phi(x_{2}) \end{eqnarray*}$
Jetzt gilt es doch zu zeigen, dass das auch für $\begin{eqnarray*} x_{1}',x_{2}'\in X' \end{eqnarray*}$ gilt, oder?
Ich sehe den Zusammenhang leider nicht...

29.11.2018, 08:40

klarsoweit

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RE: Isomorphie zweier normierter VR
Ich gebe zu, daß ich nicht jede Schreibweise kenne. Im Moment ist mir nicht klar, was mit X' bzw. Y' gemeint ist.

Ich schiebe das mal in die Algebra.

29.11.2018, 08:43

Guppi12

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Hallo,

betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi':Y'\to X' \end{eqnarray*}$ .
Mein Tipp wäre außerdem, dich nicht mit Linearität aufzuhalten, die ist in den meisten Fällen ziemlich trivial und zumindest ich würde darauf als Korrektor keinen Wert mehr legen, die ausgeführt zu sehen. Sprich das vielleicht in der nächsten Übung Mal mit deinem Hiwi ab und lass es ab da dann sein.

Bitte nicht in die Algebra schieben, das ist Analysis.

@klarsoweit: X' steht für den stetigen Dualraum, das heißt alle stetigen linearen Abbildungen von X nach C oder R.

29.11.2018, 12:45

MaPalui

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Hallo ihr zwei,

danke für eure Antworten und entschuldigt bitte, dass ich die Fakten nicht genau genug wiedergegeben habe.

Guppi:
Was die Linearität angeht, da frage ich nach. Aber hier in dieser Aufgabe möchte ich das gerne nochmal wiederholen für mein eigenes Verständnis.
Ich versuche gerade nachzuvollziehen was du mit der Abbildung Phi' meinst. Wenn ich mir die Abbildung bei dir ansehe, meinst du sicherlich die Umkehrabbildung?

29.11.2018, 12:49

Guppi12

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Hallo,

nein ich meine die duale Abbildung zu $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ , habt ihr die nicht definiert? Es ist $\begin{eqnarray*} \Phi':Y'\to X', y'\mapsto y'\circ \Phi \end{eqnarray*}$ .

29.11.2018, 12:59

MaPalui

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Pardon.
Leider nicht unglücklich

unglücklich

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29.11.2018, 13:12

Guppi12

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Naja, ich habe sie dir ja jetzt definiert. Du kannst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi' \end{eqnarray*}$ ein isometrischer Isomorphismus ist, wenn $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ einer ist.

29.11.2018, 16:46

HLD

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Du musst ja einfach nur zeigen, dass ein isometrischer Isomorphismus existiert. Da du die duale Abbildung noch nicht "kennst", bastel sie dir halt.

Du weißt Phi: X --> Y isometrisch isomorph. Außerdem weißt du, dass zwischen den Räumen und ihren dualen je ein isometrischer Isomorphismus existiert, richtig? Jetzt musst du die nur noch richtig verketten und hast deine gewünschte Abbildung... Tipp: Mal dir doch mal ein Viereck mit X,X',Y,Y' und bezeichne die Pfeile zwischen den Räumen entsprechend der Abbildungen.

29.11.2018, 16:50

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Außerdem weißt du, dass zwischen den Räumen und ihren dualen je ein isometrischer Isomorphismus existiert

das stimmt gar nicht verwirrt

verwirrt

29.11.2018, 17:00

HLD

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Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

Zitat:

Außerdem weißt du, dass zwischen den Räumen und ihren dualen je ein isometrischer Isomorphismus existiert

das stimmt gar nicht verwirrt

verwirrt

Hab ich jetzt nen Denkfehler?

Wir sind doch im Banachraum, oder? Dann ex. zu jedem Funktional f aus X' doch ein psi aus X, sodass gilt f(x) = <psi,x> für alle x aus X.
und die Abb. f: x wird abgebildet auf <x,.> ist eine Isometrie... oder?

29.11.2018, 17:05

Guppi12

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Zunächst einmal wurde nicht vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ ein Banachräume sind, aber das ist auch für Banachräume nicht richtig.

Wir können dem Denkfehler gerne auf den Grund gehen, dafür musst du mir aber zunächst eine Frage beantworten:

Was soll $\begin{eqnarray*} \langle \psi,x\rangle \end{eqnarray*}$ überhaupt bedeuten, wenn $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind? Normalerweise bezeichnet $\begin{eqnarray*} \langle \cdot,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ die Paarung zwischen dem Raum selbst und dem Dualraum, aber da muss eben ein Element aus dem Dualraum sein und eines aus dem Raum selbst, nicht beide aus dem Raum selbst.

29.11.2018, 17:11

HLD

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Nein, das Element \psi ist aus X, das Element <\psi,.> ist aus X'.

Wir wissen aber das jede lineare stetige Funktional f aus X' die Darstellung

f(x) = <\psi,.> (x) = <\psi,x> hat mit eindeutig bestimmten \psi aus X und die Abb. \psi \mapsto <\psi,.> ist eben isometrisch von X nach X'

29.11.2018, 17:21

HLD

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Im Übrigen stimme ich dir nicht zu, was die Schreibweise angeht.

<x,y> bildet sehr wohl 2 Elemente aus X nach C ab. In der Schreibweise steckt die Abbildung J, die eines der beiden Elemente (je nach Konvention) in den Dualraum holt schon mit drin.

Du schreibst ja im R^n auch nicht <v^T,w> oder? Du versiehst 2 Elemente mit dem Skalarprodukt und dabei ist schon mit enthalten, dass für die Ausführung der Operation der eine transponiert werden muss um im Sinne der Matrixmultiplikation ein Skalar zu bekommen.

29.11.2018, 17:25

Guppi12

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Naja, du schreibst ja $\begin{eqnarray*} f(x) = \langle \psi, x\rangle \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Also musst du auch $\begin{eqnarray*} \langle \psi, x\rangle \end{eqnarray*}$ irgendwie definieren.

Du kannst das nicht über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ tun, denn du willst ja umgekehrt gerade sagen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} f\in X' \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \psi\in X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \langle \psi, x\rangle \end{eqnarray*}$ . Du musst also $\begin{eqnarray*} \langle \psi, x\rangle \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definieren können, anders ergibt diese Aussage gar keinen Sinn!

Das ist keine Erbsenzählerei, ich versuche damit wirklich auf das Verständnisproblem zu kommen, denn die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ isometrisch sind, ist definitiv falsch im Allgemeinen.

Nimm dafür zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X = \ell^1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} X' = \ell^\infty(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist separabel, aber $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ nicht, also können die gar nicht isometrisch isomorph sein.

29.11.2018, 17:28

Guppi12

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Sehe deinen neuen Beitrag erst jetzt. Nein für $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ schreibe ich $\begin{eqnarray*} \langle \cdot,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ für das kanonische Skalarprodukt. Hier ist klar, dass die beiden Räume isomorph sind, für unendlich-dimensionale Räume ist das überhaupt nicht klar genausowenig wie eine Paarung des Raumes mit sich selbst aussehen soll.

29.11.2018, 17:34

HLD

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Ahhhh... korrekt. Hab ich doch glatt einen Zirkelschluss konstruiert. smile

smile

Wir brauchen natürlich mehr um <.,.> auch ohne den Rieszschen Darstellungssatz schon Ausdruck zu verleihen.

Stimmst du mir zu, dass meine Ausführung genau dann anwendbar und korrekt ist, wenn die Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt und wir folglich über die Polarisationsidentität einen Ausdruck für <.,.> erhalten können?

Dann gilt nämlich einfach: phi: X--> Y, psi: X-->X'. chi: Y--> Y'

phi' : Y' --> X' = psi o phi^{-1} o chi^{-1}

Danke für das Aufklären meiner Verwirrung verwirrt

verwirrt

29.11.2018, 17:39

Guppi12

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Wenn die Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt, sind wir automatisch in einem Prähilbertraum. Wenn man dann noch zusätzlich Vollständigkeit fordert, sind wir in einem Hilbertraum.

Ein Hilbertraum ist natürlich wirklich isometrisch isomorph zu seinem Dualraum, da stimme ich zu, ja.

29.11.2018, 17:43

HLD

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Zitat:

Original von Guppi12
Wenn die Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt, sind wir automatisch in einem Prähilbertraum. Wenn man dann noch zusätzlich Vollständigkeit fordert, sind wir in einem Hilbertraum.

Ein Hilbertraum ist natürlich wirklich isometrisch isomorph zu seinem Dualraum.

Freude

Jo ich hab mal wieder mehr Vorraussetzungen gesehen als vorhanden waren...

Aber das Beispiel mit l^1 und l^\infty war natürlich sofort einleuchtend. Danke nochmal

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