Einheitsnormalenvektor

29.11.2018, 19:17	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitsnormalenvektor Meine Frage: Hi ich möchte die Aufgabe lösen siehe Bild. Meine Ideen: Ich brauche den Einheitsnormalenvektor an S im punkt c(t) wie kriege ich das hin? Im Buch steht das der Einheitsnormalenvektor N(c(t))=-c(t) ist.. kann das nicht nachvollziehen Die Formel für die Kovariante Ableitung ist bei uns: Sei $\begin{eqnarray} S \subset R^3 \end{eqnarray}$ eine reguläre Fläche, sei c: I -> S eine parametrisierte Kurve und sei v: I->R^3 ein differenzierteres Vektorfeld an S längs c. Für jeden Punkt p in S sei $\begin{eqnarray} \Pi_{p}: R^3-> T_{p}S \end{eqnarray}$ die Orthogonalprojektion d.h ist N(p) einer der beiden Einheitsnormalenvektoren an S im Punkt p, so ist $\begin{eqnarray} \Pi_{p}(X)=X-<X,N(p)>N(p) \end{eqnarray}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray} \frac{\nabla}{dt}v(t):= \Pi_{c(t)}(v'(t)) \end{eqnarray}$ , t in I, die Kovariante Ableitung von v. Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
29.11.2018, 22:14	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitsnormalenvektor Ich habe gelesen das die Spähre als Einheitsnormalenvektor die id hat was bedeutet das genau?
29.11.2018, 22:57	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitsnormalenvektor In der Aufgabenstellung ist die Kovariante Ableitung von c' gefragt. Das bedeutet: $\begin{eqnarray} \frac{\nabla}{dt}c'(t):= \Pi_{c(t)}(c''(t)) \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} c''(t)=(-cos(t)cos(\theta),-sin(t)cos(\theta),0) \end{eqnarray}$ . Für den Einheitsnormalenvektor von S in c(t) gilt: N(c(t))= -c(t)= $\begin{eqnarray} (-cos(t)cos(\theta),-sin(t)cos(\theta),-sin(\theta)) \end{eqnarray}$ . Wie begründe ich das? Der Einheitsnormalenvektor von der Spähre ist die Identität. Wieso wird aber minus genommen ? Dazu komme ich gleich. Wir können nun zusammenfassen: $\begin{eqnarray} c''(t)-<c''(t),N(c(t))>N(c(t)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta) \\ -sin(t)cos(\theta) \\ 0 \end{pmatrix} -cos(\theta)^2 \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta) \\ -sin(t)cos(\theta) \\ -sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta) \\ -sin(t)cos(\theta) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta)^3 \\ -sin(t)cos(\theta)^3 \\ -sin(\theta)cos(\theta)^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta)+cos(t)cos(\theta)^3 \\ -sin(t)cos(\theta)+sin(t)cos(\theta)^3 \\ sin(\theta)cos(\theta)^2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta)(1-cos(\theta)^2) \\ -sin(t)cos(\theta)(1-cos(\theta)^2) \\ sin(\theta)cos(\theta)^2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -cos(t)cos(\theta)sin(\theta)^2 \\ -sin(t)cos(\theta)sin(\theta)^2 \\ sin(\theta)cos(\theta)^2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ für theta=0 verschwindet die Ableitung. Ich habe den Normalenvektor negativ genommen damit ich die Vereinfachungen durchführen kann. Ich hoffe jemand antwortet mir. Danke

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