Grenzwerte bei Folgen

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grenz05 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte bei Folgen
Hallo

Ich würde gerne wissen, wie ihr die folgenden Aufgabenstellungen interpretiert, also wie (bzw. in welchem Umfang) die Vorgehensweise zur Lösung der Aufgabe aussehen sollte.

1) Angenommen man hat den Limes für einer konkreten, expliziten Folge gegeben und die genaue Aufgabenstellung dazu lautet "Untersuche die Existenz folgender Grenzwerte und gib ggf. ihren Wert an".
Ich würde mir jetzt um das allgemeine Zeigen der Existenz gar keine Gedanken machen, sondern einfach durch passende Umformungen oder Grenzwertsätze schauen was passiert, wodurch sich dann automatisch der Grenzwert selbst oder eben Divergenz ergibt.

Würdet ihr das auch so machen oder übersehe ich da etwas ?

2) Angenommen man hat eine konkrete Folge wiederum explizit gegeben und die genaue Aufgabenstellung lautet "Untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme ggf. die entsprechenden Grenzwerte".
Auch hier würde ich durch passende Umformungen und anschließender Betrachtung für direkt den Grenzwert bestimmen bzw Divergenz zeigen.

Oder würdet ihr die Aufgabenstellung so deuten, dass man zunächst die mögliche Konvergenz durch das Zeigen von Monotonie und Beschränktheit nachweist und erst dann den konkreten Grenzwert ermittelt ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde in beiden Fällen ebenso vorgehen, wenn es denn möglich ist. Es gibt Aufgaben, wo es einfach sinniger ist, zuerst getrennt die Konvergenz zu zeigen und erst danach den Grenzwert zu berechnen.

Bedenke auch, dass die Grenzwertsätze eben auch die Aussage machen, dass eine Folge überhaupt konvergiert.

Die lauten ja (am Beispiel des Summensatzes) wie folgt: Seien konvergente Folgen mit Grenzwerten . Dann konvergiert die Folge und ihr Grenzwert ist .

Viele vergessen, dass es den ersten, hier fett geschrieben Teil der Sätze auch gibt, sondern beachten nur den "und ihr Grenzwert ist ..." Teil. Das heißt, auch die bloße Konvergenz kann man mit diesen Sätzen begründen, nicht nur, wie der Grenzwert aussieht.
grenz05 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.

Zitat:
Es gibt Aufgaben, wo es einfach sinniger ist, zuerst getrennt die Konvergenz zu zeigen und erst danach den Grenzwert zu berechnen.


Kannst du da mal Beispiele nennen ?
Meinst du z.B. auch entsprechende rekursiv definierte Folgen damit ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, meine erste Idee dazu wäre eine rekursiv definierte Folge.

Etwa definiert durch und für alle . Das ist so der Klassiker.
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