Integrale, Fouriertransformationen mit dem Residuensatz lösen

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Probability Auf diesen Beitrag antworten »
Integrale, Fouriertransformationen mit dem Residuensatz lösen
Hey zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe:
[attach]48450[/attach]

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich bei a.) vorgehen soll. Würde der Nenner nur 1 sein, dann würde ich bei https://de.wikipedia.org/wiki/Residuensa...nale_Funktionen vorgehen.

Jedoch ist bei mir ein Kosinus im Zähler. Nach https://de.wikipedia.org/wiki/Residuensa...sche_Funktionen kann ich auch nicht vorgehen, da hier eine Winkelfunktion im Nenner erwartet wird.

Könnt ihr mir dazu einen Tipp geben bitte?

Gruß
Prob
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Integriere für genügend großes über den Halbkreis , der sich aus der Strecke von bis und dem Halbkreisbogen von bis in der oberen Halbebene zusammensetzt. Zeige, daß das Integral über den Halbkreisbogen für verschwindet. Dann bleibt das gesuchte Integral übrig, allerdings in den Grenzen von bis . Das Integral kann andererseits mit dem Residuensatz berechnet werden.
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Aber ich weiß leider noch nicht ganz, wie du das meintest. Also halten wir fest, dass ich am Ende ein Integral rausbekommen soll, das von Minus Unendlich bis Plus Unendlich gehen soll.

Du meintest das, was hier auf der 3. Seite erläutert wird: http://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/Roetzer.pdf

Ich versuchs mal so:



Also ich bin mir nicht so sicher, was ich mit dem zweiten Integral anfangen soll bzw. ich darf ja gar nichts integrieren, da wir ja am Ende ein Integral haben wollen, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite Integral braucht man nicht explizit zu integrieren, weil es für gegen 0 strebt. Zeigen kann man das, indem man parametrisiert und unterm Integral zum Betrag übergeht. Gemäß der Dreiecksungleichung für Integrale muß dann auch das Integral selbst gegen 0 streben:



Beim Kleinergleich-Zeichen wurde die umgekehrte Dreiecksungleichung verwendet. Wenn groß genug ist, konkret: größer als , kann man den Nenner nach unten durch abschätzen. Im verbleibenden Integral nutzt man jetzt



Das sieht man, wenn man unter dem reellen Sinusgraphen die Strecke von nach zeichnet. Jetzt kann man weiter abschätzen:



Da der letzte Ausdruck für gegen 0 strebt, folgt:



In der folgenden Gleichung kann die linke Seite mit Hilfe des Residuensatzes berechnet werden:



Die einzige Singularität im Innern der Kurve ist . Es sei das Residuum von an der Stelle . Dann gilt somit:



Und für folgt hieraus:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Warum eigentlich so kompliziert mit dem ? für alle reicht doch bereits für die ebenfalls genügende Abschätzung

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
@Leopold

Warum eigentlich so kompliziert mit dem ?


Weil ich es immer so gemacht habe. Das ist der einzige Grund, den ich dir nennen kann. Aber natürlich reicht deine gröbere Abschätzung für die Belange hier vollkommen aus.
 
 
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