Reihen

02.12.2018, 19:41	besbes	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} a_{n} \in C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray}$ sei konvergent. Dann ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } Re (a_{n}) + i\sum\limits_{n=1}^{\infty } lm (a_{n}) \end{eqnarray}$ Wahr oder falsch? Meine Ideen: Die Aufgabe ist meiner Meinung nach richtig, aber wollte nochmal sicher gehen. Was sagt ihr?
02.12.2018, 19:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinungen sind nicht genug, das überlassen wir Leuten wie Donald Duck und Donald Trump. wir wissen, was wir beweisen können, alles andere zählt nicht.
02.12.2018, 20:02	besbes	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Beweis wollte ich ja gleich übernehmen, nur wollt ich wissen ob ich mit meiner ,,Meinung'' richtigg liege.
02.12.2018, 21:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis kann nicht von meiner Meinung abhängig sein, so funktioniert Mathematik nicht. Die Aussage ist wahr oder falsch, du kannst sie beweisen oder widerlegen. Du musst das nicht tun, der Aussage ist das völlig egal.
03.12.2018, 14:51	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre es hier nicht auch wieder sinnvoll, gleich den Kern des Problemes herauszuschälen? Die Funktionen Re und Im sind Spezialfälle der Projektion $\begin{eqnarray} p_i\colon\mathbb R^N\to\mathbb R^N,\quad p_i(\sum_{k=1}^N v_k \mathbf e_k) = v_i \mathbf e_i. \end{eqnarray}$ Für eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ von Koordinatenvektoren soll nun $\begin{eqnarray} p_i(\sum_{n=1}^\infty a_n) = \sum_{n=1}^\infty p_i(a_n) \end{eqnarray}$ sein, analog zu $\begin{eqnarray} \operatorname{Re}(\sum_{n=1}^\infty a_n) = \sum_{n=1}^\infty \operatorname{Re}(a_n) \end{eqnarray}$ . Weiterhin gilt $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m a_n. \end{eqnarray}$ Klar ist (sollte sein), dass $\begin{eqnarray} p_i(\sum_{n=1}^m a_n) = \sum_{n=1}^m p_i(a_n). \end{eqnarray}$ Es wäre also schön, wenn $\begin{eqnarray} p_i(\lim_{n\to\infty} a_n) = \lim_{n\to\infty} p_i(a_n) \end{eqnarray}$ für jede beliebige konvergente Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ . Das ist aber genau die Bedingung der Folgenstetigkeit für $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a=\lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray}$ , die für metrische Räume natürlich mit dem Begriff der Stetigkeit koinzidiert. Wenn wir uns also ein klein wenig vom Punkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ entfernen, egal in welche Richtung, dann darf sich $\begin{eqnarray} p_i(a) \end{eqnarray}$ währenddessen nicht sprunghaft ändern. Jetzt stellt auch mal den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ als Koordinatensystem vor und einen Punkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ darin. Variiert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ leicht in eine beliebige Richtung und betrachtet dabei die Projektion auf eine der Koordinatenachsen.

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