Differentialgleichung

02.12.2018, 21:57	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Hallo, ich habe folgende Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} y'(x)= \frac{1}{cos y} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(0)=0 \end{eqnarray}$ Meine Lösung ist $\begin{eqnarray} y(x)= arcsin(x) \end{eqnarray}$ Jetzt soll das maximale Existenzintervall angeben werden. Dieses ist doch (-1,1). Was aber ist dann der maximale Lösung des AWP? $\begin{eqnarray} y_{max}= arcsin 1 \end{eqnarray}$ ?
03.12.2018, 08:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ ist das maximal mögliche Intervall, in dem dein AWP eine Lösung hat. Diese Lösung lässt sich zwar noch auf die Randpunkte, d.h. insgesamt dann auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ stetig fortsetzen, aber dort an den Randpunkten selbst gilt die DGL nicht mehr. Den Begriff "maximale Lösung des AWP" kenne ich nicht, kann nur vermuten, dass damit dasselbe gemeint ist.
03.12.2018, 09:01	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke In der Aufgabenstellung steht: Bestimme das maximale Existenzintervall und die zugehörige maximale Lösung des AWP. Wenn das Intervall (-1,1) egtl offen ist, dann kann doch die maximale Lösung nicht der arcsin 1 sein oder vllt ist dann eher $\begin{eqnarray} (-\frac{ \pi}{2} ,\frac{ \pi}{2}) \end{eqnarray}$ damit gemeint
03.12.2018, 09:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, einen "maximalen Funktionswert" gibt es in dem Lösungsintervall $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ nicht, nur einen "supremalen". Und der entspricht dem maximalen, sofern man die Lösung auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ stetig fortsetzt, das wäre dann eben $\begin{eqnarray} y(x) = \arcsin(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in [-1,1] \end{eqnarray}$ . Mehr kann ich dazu nicht sagen.
03.12.2018, 09:20	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Nur noch eine Frage. Wenn das Intervall ,wie du sagst, abgeschlossen wäre, könnte man dann nicht die Lösung nach dem lokalen Existenzsatz von Picard Lindelöf fortsetzen. In dem Fall geht das nicht, da der arcsin nur bis 1 und -1 definiert ist, aber sonst würde das dann gehen ?
03.12.2018, 09:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab keine Ahnung, welches Hätte-Wäre-Wenn-Szenario dir hier vorschwebt, jedenfalls gebe ich keine Blanko-Bestätigung für ein dubioses "sonst würde das gehen".
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03.12.2018, 18:41	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe z.b das Existenzintervall (a,b) für irgendeine Lösungsfunktion. Wenn das Intervall abgeschlossen wäre, dann könnte man doch nach der lokaeln Version von Picard-Lindelöf, das Intervall vergrößern oder?

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