Zahlkörper als rationale Linearkombination

03.12.2018, 10:06

InaAldi

Zahlkörper als rationale Linearkombination

Guten Morgen!

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich gar nicht klarkomme, da ich wegen einer Erkrankung 2 Wochen gefehlt habe. Vielleicht kann mir einer weiterhelfen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+ 6\alpha ^{3} + 4\alpha ^{6} }{4+ 2\alpha - \alpha ^{2} } \end{eqnarray*}$

soll dargestellt werden mit

$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt[5]{3} \end{eqnarray*}$ als rationale Linearkombination von $\begin{eqnarray*} 1,\alpha,\alpha ^{2}, \alpha ^{3}, \alpha ^{4} \end{eqnarray*}$

Ich bin um jede Hilfe dankbar!

Vielen Dank, InaAldi

03.12.2018, 10:26

HAL 9000

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Aus dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1+6\alpha^3+4\alpha^6}{4+2\alpha-\alpha^2} = \frac{1+12\alpha+6\alpha^3}{4+2\alpha-\alpha^2} = a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3+e\alpha^4 \end{eqnarray*}$

folgt durch Multiplikation mit dem Nenner

$\begin{eqnarray*} 1+12\alpha+6\alpha^3 = \left(4+2\alpha-\alpha^2\right)\cdot \left(a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3+e\alpha^4\right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man die rechte Seite ausmultiplzieren und anschließend jede Potenz $\begin{eqnarray*} \alpha^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\geq 5 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 3\alpha^{k-5} \end{eqnarray*}$ ersetzen. Der Koeffizientenvergleich mit der linken Seite ergibt dann ein 5x5-lineares Gleichungssystem mit rationalen Koeffizienten und demzufolge auch rationaler Lösung $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ziemlich unhöflich übrigens, dass du dich in vielen deiner Threads (um nicht zu sagen: den meisten) nie wieder blicken lässt:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=588153
https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=588492
https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=588631
https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=588795
https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=588796

Mal sehen, wie es diesmal ausgeht. verwirrt

03.12.2018, 11:47

InaAldi

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Vielen Dank für Deinen Tipp!

Es stimmt leider, dass ich total vergessen habe, Danke zu sagen, in letzter Zeit war alles ziemlich viel.

Ich bitte um Entschuldigung und gelobe Besserung!

03.12.2018, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von InaAldi
Es stimmt leider, dass ich total vergessen habe, Danke zu sagen

Auf den Dank kommt es mir gar nicht an - in manchen der Threads erfolgte ja noch gar keine richtige Hilfe, sondern erstmal nur Anmerkungen zur Problemstellung. Es ist nur ein ungutes Gefühl, für den Papierkorb geschrieben zu haben, weil die Antworten womöglich nicht mal zur Kenntnis genommen wurden.

05.12.2018, 16:34

InaAldi

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Hallo Hal,

soweit hatte ich gar nicht gedacht. unglücklich

Mir haben die Denkanstöße schon gereicht.

Ich verstehe nicht ganz, wie Du auf $\begin{eqnarray*} 3\alpha ^{k-5} \end{eqnarray*}$ kommst?

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