Lösung einer DGL mithilfe von Ungleichung

03.12.2018, 19:43	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung einer DGL mithilfe von Ungleichung Meine Frage: Meine Frage ist eher eine Verständnisfrage, da mir die Infos in der Aufgabe überhaupt nicht weiterhelfen und ich auch in meinen Aufzeichnungen nichts finde, was zu einer Lösung der Aufgabe beitragen könnte. Die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} x\in C^{1} [0,\infty) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} (x(t)^{2})\leq -\| x(t) \| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ und x(0)=1. Berechnen Sie x(t) für $\begin{eqnarray} t\geq 2 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wie kann mir diese Info nun bei der Lösung der DGL helfen? Ein Ansatz würde mir schon reichen.
03.12.2018, 23:07	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du die Aufgabe richtig abgeschrieben? Falls ich mich nicht vertan habe, dürfte eine Funktion mit diesen Eigenschaften nämlich gar nicht existieren.
04.12.2018, 16:19	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Aufgabe ist so gestellt
04.12.2018, 17:17	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen, eine Funktion mit diesen Eigenschaften existiert. Wenn man die linke Seite der Ungleichung ausrechnet, hat man $\begin{eqnarray} 2x(t)\cdot x'(t)\leq -\|x(t)\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(t)>0 \end{eqnarray}$ bedeutet das $\begin{eqnarray} 2x(t)\cdot x'(t)\leq -x(t) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x'(t)\leq -\frac 12 \quad () \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(t)<0 \end{eqnarray}$ bedeutet das $\begin{eqnarray} 2x(t)\cdot x'(t)\leq x(t) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x'(t)\geq \frac 12 \quad (*) \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ kann $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht auf dem ganzen Definitionsbereich positiv sein. $\begin{eqnarray} t_0>0 \end{eqnarray}$ bezeichne die kleinste Nullstelle. Für alle $\begin{eqnarray} t\in[0,t_0) \end{eqnarray}$ gilt also $\begin{eqnarray} x'(t)\leq -\frac 12 \end{eqnarray}$ ; und wegen der Stetigkeit der Ableitung auch $\begin{eqnarray} x'(t_0)\leq -\frac 12<0 \end{eqnarray}$ . Es gibt also ein $\begin{eqnarray} t_1>t_0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (t_0, t_1) \end{eqnarray}$ negativ ist und somit $\begin{eqnarray} x'(t)\geq \frac 12 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\in(t_0, t_1) \end{eqnarray}$ . Das ist aber aufgrund der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ nicht möglich. Es gibt nur eine stetig differenzierbare Funktion, die für alle $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} (x(t)^2)\leq -\|x(t)\| \end{eqnarray*}$ erfüllt, nämlich die konstante Nullfunktion. Oder übersehe ich etwas?
04.12.2018, 17:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn da nicht klar und deutlich $\begin{eqnarray} x\in C^1[0,\infty) \end{eqnarray}$ stehen würde, könnte man sich evtl. noch mit schwachen Lösungen wie etwa $\begin{eqnarray} x(t) = \left(1-\frac{t}{2}\right)_+ \end{eqnarray}$ rausreden, aber das ist hier nicht drin (Knick bei t=2). Ich stimme dir daher völlig zu.
04.12.2018, 17:41	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab die Aufgabe jetzt nochmal überprüft und ich habe sie definitiv richtig abgeschrieben. Also ist die Lösung einfach, dass es die Funktion nicht gibt? Könntet ihr mir trotzdem noch verraten, wie man an solche Aufgaben normalerweise herangeht? Scheint hier dann ja unnötig zu sein, aber würde das trotzdem gerne wissen.
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05.12.2018, 11:36	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob es für "Differentialungleichungen" genauso wie für gewöhnliche Differentialgleichungen eine Theorie gibt, die einem sagt, unter welchen Voraussetzungen es Lösungen gibt etc. Meine Vorgehensweise war bis jetzt immer so, wie oben: Hinschreiben, was man über die Funktion weiß und versuchen, daraus Schlussfolgerungen zu ziehen. Es dürfte jedenfalls nur in den wenigsten Fällen der Fall sein, dass eine eindeutige Lösung existiert und man sie explizit angeben kann (so wie es in deiner Aufgabe anscheinend gefordert war, zumindest für $\begin{eqnarray} t\geq 2 \end{eqnarray}$ ). Für den Fall, dass die Ungleichung die Form $\begin{eqnarray} x'(t)\leq \beta(t)x(t) \end{eqnarray}$ hat, könnte z.B. die Gronwallsche Ungleichung nützlich sein. Edit: Falls du Interesse hast: Schau mal hier, in Kapitel 3. Da findest du u.a. einen Satz über den Zusammenhang von Lösungen einer Differentialungleichung und der zugehörigen Differentialgleichung und auch noch eine etwas allgemeinere Form der Gronwallschen Ungleichung.
05.12.2018, 15:04	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke

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