f(x,y)=x^3/(x^2+y^2) Stetig differenzierbar

03.12.2018, 19:58

Aaron_

f(x,y)=x^3/(x^2+y^2) Stetig differenzierbar

Meine Frage:
Hallo,

ich konnte leider an dem Tag wo Differenzierbarkeit im R^n angefangen wurde nicht zur Uni und wollte mich deshalb zum einen vergewissern, ob ich die Herangehensweise richtig verstanden habe und zum anderen wollte ich wissen, wie man mit der Stetigkeit bei der Aufgabe weiter kommt.

Also die Aufgabe sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \frac {x^3}{ (x^2+y^2)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne 0 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} (x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich soll nun feststellen ob die Funktion stetig partiell differenzierbar auf R^2\(0,0) ist bzw. partiell differenzierbar auf R^2.

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)= \frac {x^3}{ (x^2+y^2)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,y) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f_x(0,y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^1_x(x,y)=\frac{3x^2}{(x^2+y^2)}-\frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4+3y^2x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,y) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f^1_x(0,y)=1 \end{eqnarray*}$

Die Stetigkeit in (0,0) muss ja nicht betrachtet werden. Die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,y) \end{eqnarray*}$ folgt unmittelbar aus den Grenzwertsätzen. Also fehlt noch die Stetigkeit in (0,b) für $\begin{eqnarray*} b \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Leider komme ich gerade nicht darauf wie ich $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen muss, sodass für $\begin{eqnarray*} ||(x,y)-(0,b)||< \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f^1_x(x,y)-f^1_x(0,b)|=|\frac{x^4+3y^2x^2}{(x^2+y^2)^2}-1|=|\frac{x^2y^2-y^4}{(x^2+y^2)^2}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

folgt. Deshalb würde ich erstmal gerne wissen, ob die Vorgehensweise soweit stimmt und falls ja, ob jemand einen Tipp für die Stetigkeit in (0,b) hat.

Grüße,

Aaron

04.12.2018, 08:38

klarsoweit

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RE: f(x,y)=x^3/(x^2+y^2) Stetig differenzierbar

Zitat:

Original von Aaron_
$\begin{eqnarray*} f^1_x(x,y)=\frac{3x^2}{(x^2+y^2)}-\frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4+3y^2x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,y) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f^1_x(0,y)=1 \end{eqnarray*}$

Mir ist zum einen nicht klar, was du mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,y) \end{eqnarray*}$ sagen willst. Zum anderen ist $\begin{eqnarray*} f^1_x(0,y)=0 \end{eqnarray*}$ für y ungleich Null.

Zitat:

Original von Aaron_
Die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,y) \end{eqnarray*}$ folgt unmittelbar aus den Grenzwertsätzen. Also fehlt noch die Stetigkeit in (0,b) für $\begin{eqnarray*} b \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Hier weiß ich beim besten Willen nicht, was du da sagen willst. verwirrt

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