Lineare Abbildungen - Abbildungsmatrizen

03.12.2018, 20:04

erstsemester

Lineare Abbildungen - Abbildungsmatrizen

Hallo zusammen,

ich habe mich einmal dem Thema "Lineare Abbildungen/Abbildungsmatrizen" gewidmet.

Hier hätte ich einige Aufgaben, zu denen ich gerne eure Anregungen erfahren möchte. Vielleicht könntet ihr mir diesbezüglich einige Hinweise geben, wo ich eventuell falsch liege und wie diese Irrtümer dann zu korrigieren wären?

Vorab vielen Dank an alle, die mir fleißig Unterstützung geben:

Sei $\begin{eqnarray*} V\subset \mathbb{C}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ der von den trigonometrischen Funktionen $\begin{eqnarray*} cos(x),sin(x) \end{eqnarray*}$ erzeugte zwei-dim. Untervektorraum. Gesucht sind die Abbildungsmatrizen $\begin{eqnarray*} A\in Mat_{mx2}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} M:=(cos,sin) \in V \end{eqnarray*}$ zu folgenden lin. Abb.:

Hinweis: Meine Lösungsansätze sind direkt unterhalb der jeweiligen Aufgabe Willkommen

Allgemein gilt: Aus den Koeffizienten des Bildes der "Basiselemente" $\begin{eqnarray*} cos,sin \end{eqnarray*}$ (Reihenfolge wichtig!) ergibt sich die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A_{mx2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F:V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ , mit den zugehörigen Zuordnungsvorschriften:

1) $\begin{eqnarray*} f(x)\Rightarrow f'(x) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} F(cos(x)) = f'(cos(x))=0*cos(x)-1*sin(x) , F(sin(x)) = f'(sin(x))=1*cos(x)+0*sin(x) \rightarrow A_{2x2}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} f(x)\Rightarrow f(x+\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(cos(x+\pi))=cos(x+\pi)=1*cos(x+\pi)+0*sin(x+\pi) , F(sin(x)+\pi) =sin(x+\pi)=0*cos(x+\pi)+1*sin(x+\pi) \rightarrow A_{2x2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu den Linearformen $\begin{eqnarray*} F: V\Rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :

Könntet Ihr mir einen Hinweis geben was unter "Linearformen" zu verstehen ist? Das ich diese nicht kenne, nehme ich an es sei eine lin. Abb.

3) $\begin{eqnarray*} f\Rightarrow f(\pi) \end{eqnarray*}$

Hier sind die Bilder von cos, sind beide an der Stelle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(cos(x))=f(\pi) F(sin(x))=f(\pi ) \rightarrow A_{1x2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} f\Rightarrow \int_{0}^{\pi/2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Hier ist doch die Stammfunktion zu bilden?!

$\begin{eqnarray*} F(cos(x))=\int_{0}^{\pi/2} \! f(x) \, dx=sin(\pi/2)-sin(0)=1 F(sin(x))=\int_{0}^{\pi/2} \! f(x) \, dx=-cos(\pi/2)+cos(0)=\pi/2 \rightarrow A_{1x2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & \pi/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Viele Dank für eure Unterstützung

erstsemester

04.12.2018, 08:59

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildungen - Abbildungsmatrizen

Zitat:

Original von erstsemester
1) $\begin{eqnarray*} f(x)\Rightarrow f'(x) \end{eqnarray*}$

Stand das original so in der Aufgabe? Oder nicht eher: $\begin{eqnarray*} F: f \rightarrow f' \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, hast du hier formalen Schiffbruch:

Zitat:

Original von erstsemester
$\begin{eqnarray*} F(cos(x)) = f'(cos(x))=0*cos(x)-1*sin(x) , F(sin(x)) = f'(sin(x))=1*cos(x)+0*sin(x) \end{eqnarray*}$

Es muß dann lauten: $\begin{eqnarray*} F(cos(x)) = \frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin(x) =0*cos(x)-1*sin(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von erstsemester
$\begin{eqnarray*} F(cos(x+\pi))=cos(x+\pi)=1*cos(x+\pi)+0*sin(x+\pi) , F(sin(x)+\pi) =sin(x+\pi)=0*cos(x+\pi)+1*sin(x+\pi) \end{eqnarray*}$

Hier setzt sich das formale Problem fort. Korrekt ist $\begin{eqnarray*} F(cos(x)) = cos(x+\pi)= ... \end{eqnarray*}$ .

Wie du selber gesagt hast, mußt du nun das Bild als Linearkombination aus den Basiselementen darstellen.

Bei den Aufgabe 3 und 4 würde ich es bevorzugen, wenn du da mal den kompletten originalen Aufgabentext postest.

04.12.2018, 09:45

Annonym

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Hallo,

Der originale aufgabentext steht schon oben... ja , formalen schiffbruch hab ich begangen. Der implikationspfeil ist immer durch einen "zuordnungspfeil" zu ersetzen.

04.12.2018, 11:31

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildungen - Abbildungsmatrizen

Zitat:

Original von erstsemester
Könntet Ihr mir einen Hinweis geben was unter "Linearformen" zu verstehen ist? Das ich diese nicht kenne, nehme ich an es sei eine lin. Abb.

Eine Linearform ist eine lineare Abbildung in den Körper K, der dem Vektorraum V zugrunde liegt.

Zitat:

Original von erstsemester
3) $\begin{eqnarray*} f\Rightarrow f(\pi) \end{eqnarray*}$

Hier sind die Bilder von cos, sind beide an der Stelle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Was willst du damit sagen?

Zitat:

Original von erstsemester
$\begin{eqnarray*} F(cos(x))=f(\pi) F(sin(x))=f(\pi ) \rightarrow A_{1x2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier widersprichst du dir selbst: A soll eine 1x2-Matrix sein, du schreibst aber eine 2x2-Matrix. Außerdem solltest du nochmal darüber nachdenken, was $\begin{eqnarray*} cos(\pi) \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von erstsemester
$\begin{eqnarray*} F(sin(x))=\int_{0}^{\pi/2} \! f(x) \, dx=-cos(\pi/2)+cos(0)=\pi/2 \end{eqnarray*}$

Falsches Ergebnis.

04.12.2018, 13:43

Annonym

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Ich brauche deine Hilfe, weil ich nicht verstehe, was es bedeutet zb bei teil 2 auf F(cos(x))= f(cos(x+pi)) abzubilden. Muss ich hierbei no ch das Argument des kosinus auflösen oder geht es nur um die ineffizienten?

Wie ist denn bei Aufgabe 3 : F(cos(x))=f(pi) zu verstehen? Hier wird cos doch auf eine konstante 1*pi abgebildet ?

Es wird ja in den R1 abgebildet, also darf die matrix nur 1x2 sein?

04.12.2018, 14:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Annonym
Ich brauche deine Hilfe, weil ich nicht verstehe, was es bedeutet zb bei teil 2 auf F(cos(x))= f(cos(x+pi)) abzubilden.

Das zeigt eigentlich dein Unverständnis, was die Abbildung F macht. Die Abbildung F bildet eine Funktion f auf die Funktion F(f) ab. Dabei sind die Funktionswerte der Funktion F(f) wie folgt definiert: $\begin{eqnarray*} F(f)(x) = f(x + \pi) \end{eqnarray*}$
Mithin ist also für f(x) = cos(x): $\begin{eqnarray*} F(cos)(x) = cos(x + \pi) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Annonym
Muss ich hierbei no ch das Argument des kosinus auflösen oder geht es nur um die ineffizienten?

Ich weiß jetzt nicht, was hier ineffizient ist, aber du mußt $\begin{eqnarray*} cos(x + \pi) \end{eqnarray*}$ so umformen, daß du es als Linearkombitation der Funktion cos(x) und sin(x) darstellen kannst. Die Additionstheoreme sollten dir dabei helfen. smile

Zitat:

Original von Annonym
Wie ist denn bei Aufgabe 3 : F(cos(x))=f(pi) zu verstehen? Hier wird cos doch auf eine konstante 1*pi abgebildet ?

Hier bildet die Abbildung F eine Funktion f auf den Funktionswert an der Stelle pi ab. Also: $\begin{eqnarray*} F(f) = f(\pi) \end{eqnarray*}$ . Mithin ist also für f(x) = cos(x) $\begin{eqnarray*} F(cos) = cos(\pi) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Annonym
Es wird ja in den R1 abgebildet, also darf die matrix nur 1x2 sein?

Korrekt.

04.12.2018, 19:42

erstsemester

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Hallo klarsoweit.

ich danke dir von Herzen. Deine Anregungen und sehr guten Tipps haben mich weiter gebracht.

Es hat ein wenig gedauert bis ich die Aufgabe nun verstanden habe Gott

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