Ramanujans Q-Funktion

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Ramanujans Q-Funktion
Hallo Community,

Ramanujans Q-Funktion sei definiert durch , wobei bedeutet, .

1) Zu zeigen ist, dass für natürliche Zahlen n gilt: 1 + Q(n) =
2) Sei Q'(m,n) gegeben durch . Für ist das asymptotische Verhalten für zu bestimmen.
Hinweis: Zeige (z.B. durch Induktion nach k) und verwende: für .

1) Ich weiß leider nicht, wie man hier einen Zusammenhang zwischen Summe und Integral herstellen kann?
2) Ich habe den Hinweis befolgt und die Ungleichungen mit Induktion bereits gezeigt. Aber nun komme ich nicht weiter, wie man sie geeignet verwendet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ramanujans Q-Funktion
Zunächst mal zu 2), da kannst du mit der Ungleichung jetzt doch nach beiden Seiten abschätzen:

a) Nach oben:

b) Nach unten:

Dazu eine kleine Nebenrechnung: zweimal nach abgeleitet ergibt

, daraus folgt .

Oben wieder eingeklinkt bekommen wir damit .


Zu 1) Der Binomische Satz in Verbindung mit (Definition Gammafunktion) sowie führt direkt zum Ziel.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal, danke für deine Hilfe!

2) schaue ich mir gleich an, hier ab nun zu 1):

Mit dem Binomischen Lehrsatz und dem Integral der Gammafunktion erhalte ich:
. Danke für die beiden Tipps!
Somit ist zu zeigen: 1+Q(n) = .
Dies schaffe ich leider bislang nicht. Ich habe Äquivalenzumformungen auf diese Gleichung angewandt, beide Summen auf eine Seite gebracht, gemeinsame Faktoren herausgehoben und bin so auf gekommen, aber die rechte Seite wird bei mir leider keine 1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist schon klar, dass für ja rekursiv gilt? verwirrt

Somit haben wir nach Abtrennen des ersten Summanden sowie Indexverschiebung

,

da man die -Summe ohne weiteres auch auf aufblasen kann: Für sämtliche ist nämlich . Augenzwinkern
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Hal, sowohl 1) als auch 2) haben jetzt ganz toll geklappt!

(Allerdings habe ich meine Umformungen in 2) noch zigmal kontrolliert und keinen Fehler gefunden, aber wahrscheinlich war da mein Vorgehen einfach nicht zielführend...)

Hast du vlt. abschließend noch einen generellen Tipp, wie man auf dieses zweimal Ableiten, damit man eine schöne Formel hat, in 2) draufkommt? Also, dass man erkennt, dass man das da machen könnte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
(Allerdings habe ich meine Umformungen in 2) noch zigmal kontrolliert und keinen Fehler gefunden, aber wahrscheinlich war da mein Vorgehen einfach nicht zielführend...)

So ist es: Du hast versucht, das Summenglied für Index der einen Summe in das Summenglied des gleichen Index der anderen Summe zu überführen, d.h., ohne die Indexverschiebung aus meinem Vorschlag. Das musste zwangsläufig schiefgehen.

Zitat:
Original von Studentu
Hast du vlt. abschließend noch einen generellen Tipp, wie man auf dieses zweimal Ableiten, damit man eine schöne Formel hat, in 2) draufkommt?

Mir ist bisher kein Weg bekannt, wie man jahrzehntelange Mathematikererfahrung (in der man z.B. diese Summe schon häufiger gesehen hat) auf einen kurz formulierbaren Tipp komprimieren kann. Augenzwinkern
 
 
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar!
Dann ist es sehr gut, dass man hier von deiner langjährigen Erfahrung lernen kann. Freude
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