Geschlossenes Intervall injektiv auf offenes Intervall abbilden

04.12.2018, 14:29

peterpan12

Geschlossenes Intervall injektiv auf offenes Intervall abbilden

Meine Frage:
Ich soll das geschlossene Intervall [a,b] Injektiv auf das offene Intervall (a,b) abbilden

Meine Ideen:
und mir fällt partout keine Injektive Funktion ein, die dies hergibt. Andersrum habe ich es einfach mit der Identität gemacht. Jetzt weiß ich, dass ich eine unstetige Funktion benötige, mir fehlt jedoch die Kreativität für die Formulierung. Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe.
VG Peter

04.12.2018, 15:25

HAL 9000

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Es ist hoffentlich $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, denn für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ klappt es natürlich nicht. Augenzwinkern

Im Prinzip kannst du die identische Abbildung nehmen, mit abzählbar unendlich vielen Ausnahmen:

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ musst du auf Punkte im offenen Intervall abbilden. Die solchermaßen verdrängten Punkte müssen wiederum auf andere Punkte abbilden, usw., das ist die bekannte Konstruktion in derlei Fällen.

Das kann man beispielsweise so organisieren: Sei $\begin{eqnarray*} d=\frac{b-a}{3} \end{eqnarray*}$ , und wir wählen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} a+d &\;\mbox{für}\;x=a\\ a+2^{-n-1}d &\;\mbox{für}\;x=a+2^{-n}d\;\mbox{mit}\;n\in\mathbb{N}_0\\ b-d &\;\mbox{für}\;x=b\\ b-2^{-n-1}d &\;\mbox{für}\;x=b-2^{-n}d\;\mbox{mit}\;n\in\mathbb{N}_0\\ x &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}:\; (a,b)\to [a,b] \end{eqnarray*}$ davon ist dann

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \begin{cases} a &\;\mbox{für}\;x=a+d\\ a+2^{-n+1}d &\;\mbox{für}\;x=a+2^{-n}d\;\mbox{mit}\;n\in\mathbb{N}\\ b &\;\mbox{für}\;x=b-d\\ b-2^{-n+1}d &\;\mbox{für}\;x=b-2^{-n}d\;\mbox{mit}\;n\in\mathbb{N}\\ x &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

hierbei sind die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ohne Null gemeint.

EDIT: Oh, da steht ja nur "injektiv", das würde natürlich auch noch viel einfacher gehen. Ich hab daher gleich mal "bijektiv" angenommen. smile

04.12.2018, 18:14

Elvis

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... injektiv in ... wäre einfacher, aber in der Aufgabe steht ... injektiv auf ..., und das heißt für mich ... injektiv und surjektiv ... also ... bijektiv ...

05.12.2018, 08:58

HAL 9000

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Ja stimmt, das "auf" hab ich überlesen. Stellt sich aber die Frage, warum man in diesem Fall überhaupt das schwächere "injektiv" benutzt. Augenzwinkern

10.12.2018, 16:40

Dideldum

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Injektion
Hallo,
Ich würde mich gerne an dieser Stele einklinken, da ich eine ähnliche Aufgabe habe.
Ich soll eine Injektion von der Menge [a,b] in die Menge (a,b) erstellen uns beweisen, dass es sich wirklich um eine Injektive Abbildung handelt.
Könnte mir jemand behilflich sein?

10.12.2018, 16:44

HAL 9000

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Genau das wurde doch oben getan. Wenn du Schwierigkeiten hast, die Konstruktion zu verstehen, dann musst du das schon näher ausführen.

11.12.2018, 09:34

Dideldum

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Bijektion
Aber ich dachte, das sei die bijektion? Wenn die Injektion leichter funktioniert und ich nur die Injektion brauche...

Naja, zu der Formel oben: wie kommt das 2^-n-1 zustande? Das verstehe ich nicht ganz

11.12.2018, 09:46

HAL 9000

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RE: Bijektion

Zitat:

Original von Dideldum
Aber ich dachte, das sei die bijektion? Wenn die Injektion leichter funktioniert und ich nur die Injektion brauche...

Ach so hast du das gemeint, du benötigst also keine Surjektivität. Na dann such dir doch irgendein abgeschlossenes Intervall $\begin{eqnarray*} [c,d]\subset (a,b) \end{eqnarray*}$ aus und bilde $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ linear auf $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ ab.

Bei der Auswahl von $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ hast du freie Hand, z.B. könnte man das "mittlere Drittel" von $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ nehmen, d.h. Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{2a+b}{3},\frac{a+2b}{3} \right] \end{eqnarray*}$ .

Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x)=mx+n \end{eqnarray*}$ wird nun so gestaltet, dass $\begin{eqnarray*} f(a)=\frac{2a+b}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)=\frac{a+2b}{3} \end{eqnarray*}$ erfüllt sind, aus diesen beiden Bedingungen lassen sich $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ bestimmen.

11.12.2018, 10:00

Dideldum

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Fallunterscheidung
OK, danke 😊
Das heißt, ich mache eine fallunterscheidung mit x=a und x= b und nutze eben f(a) und f(b)?

11.12.2018, 10:28

HAL 9000

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Als "Fallunterscheidung" würde ich das nicht bezeichnen - die beiden Werte an den Intervallrandpunkten bestimmen die Gerade, indem aus ihnen ein 2x2-Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ aufstellbar ist.

11.12.2018, 10:31

Dideldum

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Fallunterscheidung
Achso, ich hatte gedacht, dass ich es wie oben bei der bijektion angeben kann...
Aber dann versuche ich mich mal daran

11.12.2018, 10:54

Dideldum

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lineare Abbildung
Meine lineare Abbildung wäre dann
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}*x+ \frac{a+b}{3} \end{eqnarray*}$

Wenn das meine Injektion ist, muss ich nur noch beweisen, dass dies für f(x)=f(y) und daraus folgend für x=y gilt?

11.12.2018, 11:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dideldum
Meine lineare Abbildung wäre dann
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}*x+ \frac{a+b}{3} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von Dideldum
Wenn das meine Injektion ist, muss ich nur noch beweisen, dass dies für f(x)=f(y) und daraus folgend für x=y gilt?

Ja, dann tu das doch einfach!

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