Beweis endliche Körpererweiterung

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Kruemelix Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis endliche Körpererweiterung
Hallo,

ich hänge gerade an dem Beweis des folgenden Satzes und komme nicht weiter:

"Sei M:K eine Körpererweiterung und cN. Es gelte [L:K] c für alle Zwischenkörper L mit L M. Zeigen Sie: [M:K] ist endlich."

Mein Problem ist, dass alle bisher bewiesenen Sätze für Körpererweiterungen nur für den endlichen Fall gelten. D.h. bei jedem Beweis durch Wiederspruch (angenommen, [M:K] sei unendlich) weiß ich nicht mehr, welche Aussagen ich überhaupt noch treffen kann.

Kann mir irgendjemand einen Stupser in die richtige Richtung geben?

Dankeschön!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde den Körper betrachten. Nach Voraussetzung ist sein Grad , und ist eine Körpererweiterung ohne Zwischenkörper. Wenn , dann ist nach dem Gradsatz auch . Wie schließt man den Beweis ab ? Warum ist ?
Kruemelix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich würde den Körper betrachten. Nach Voraussetzung ist sein Grad , und ist eine Körpererweiterung ohne Zwischenkörper. Wenn , dann ist nach dem Gradsatz auch . Wie schließt man den Beweis ab ? Warum ist ?


die Ideen (ok, Teile davon) hatte ich auch schon, allerdings stellten sich mir hier zwei Fragen (die ich beide nicht beantworten konnte):
- woher weiß ich, dass es nicht unendlich viele unterschiedliche L gibt, die die Bedingung erfüllen? Dann könnte der Körper und damit auch M immer noch unendlich sein.
- "Warum ist ?" Hier ist vermutlich wichtig, dass M/N eine Körpererweiterung ohne Zwischenkörper ist, d.h. (M:N) ist eine Primzahl. Gibt es unendlich große Primzahlen, d.h. selbst wenn N endlich wäre, könnte M nach geeigneter Wahl immer noch unendlich sein?

Danke schonmal für den Hinweis smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

N ist nach Konstruktion ein Teilkoerper von M, also nach Voraussetzung (N:K) kleiner gleich c. Das ist unabhängig von der Mächtigkeit von {L:K<L<M}.
Die andere Frage bleibt. Warum ist (M:N) endlich? Es gibt keine unendlich große Primzahl. Also : warum hat eine unendliche Körpererweiterung Zwischenkoerper?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee war nicht gut genug. Galoiserweiterung mit Galoisgruppe V4 hat 3 quadratische Teilkoerper (c=2), und N=M mit (M:K)=4=2^2.
Kruemelix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Meine Idee war nicht gut genug. Galoiserweiterung mit Galoisgruppe V4 hat 3 quadratische Teilkoerper (c=2), und N=M mit (M:K)=4=2^2.


soweit sind wir nicht Augenzwinkern . Wir wissen lediglich, was einfache bzw. algebraische Körpererweiterungen sind, kennen hierfür ein paar Ergebnisse sowie den Gradsatz für endliche Körpererweiterungen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe eine Idee. Nimm einen echten Teilkoerper L mit maximalem Grad über K. Er ist endlich, also algebraisch über K. Adjungiere zu L ein Element a aus einem Teilkoerper N, das nicht in L liegt, das ist auch algebraisch über K. Also ist L(a)=M algebraisch also endlich über K. Gibt es kein a, so ist M transzendent über L, hat also echte Teilkoerper, die L als echte Teilkoerper enthalten, das widerspricht der Voraussetzung an L.
Kruemelix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich glaube ich habe eine Idee. Nimm einen echten Teilkoerper L mit maximalem Grad über K. Er ist endlich, also algebraisch über K. Adjungiere zu L ein Element a aus einem Teilkoerper N, das nicht in L liegt, das ist auch algebraisch über K. Also ist L(a)=M algebraisch also endlich über K. Gibt es kein a, so ist M transzendent über L, hat also echte Teilkoerper, die L als echte Teilkoerper enthalten, das widerspricht der Voraussetzung an L.


schlau, darauf wäre ich nicht gekommen. Ich habe immer gedacht, dass [M:L] im schlimmsten Fall unendlich sein kann (gerade bei Wikipedia nachgeschaut, dies passiert anscheinend, wenn man ein transzendentes Element adjungiert).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war nicht schlau, ich war doof. Du hast mir die richtigen Stichworte gegeben, die ich zum Nachdenken gebraucht habe. Gute Nacht. Wink
Kruemelix Auf diesen Beitrag antworten »

immer noch schlauer als ich. Jetzt kann ich zumindest beruhigt schlafen, nachdem ich mir ebenfalls den Kopf zermartert habe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir müssen noch etwas subtiler argumentieren, denn es ist mir eine weitere Möglichkeit eingefallen.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:

(3) geht nicht, weil die transzendente Erweiterung beliebig viele Teilkörper enthält.
(2) habe ich gestern behandelt. Man nimmt einen Teilkörper von , der maximalen Grad über hat. Durch Adjunktion eines nicht in enthaltenen Elements kommt man direkt zu . Alles endlich algebraisch, also endlich algebraisch. ("endlich" heißt nicht "endlicher Körper", "endlich heißt, "Körpererweiterung von endlichem Grad"!)
(1) transzendent geht nicht wegen (3), wenn es kein Element außerhalb eines Teilkörpers von gibt, wobei maximalen Grad über hat, dann entsteht aus durch Adjunktion eines algebraischen Element , und ist eine Primzahl.
Kruemelix Auf diesen Beitrag antworten »

ich hechle' so mit - wobei es vermutlich noch ein einfachere Beweisführung gibt, da wir transzendente Erweiterungen nicht behandelt haben
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist nicht einfach, weil die Aufgabe nicht einfach ist. Das erkennst du auch daran, dass ich mehrere Anläufe gebraucht habe. Letztlich habe ich eine doppelte Fallunterscheidung über den Teilkoerperverband von M gemacht. In jedem Fall gibt es neben (Bsp 2) oder über (Bsp 1 und 3) einem maximalen L<M ein a in M, das M/L erzeugt. So komme ich zu 3 Fällen, die ich durch 3 Beispiele illustriert habe.
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