Formel von de Moivre, Potenzreihen

04.12.2018, 18:26

MatheFredo

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Formel von de Moivre, Potenzreihen

Meine Frage:
Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen weisen Sie für z= (Betrag von z)* e^(i*phi) den Zusammenhang z^(n) = (Betrag von z)^(n) * (cos(n*phi)+i*sin(n*phi)) nach.
Stellen Sie sin z und cos z durch e^(iz) und e^(-iz) dar.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

t= (Betrag von z) * e^(i*phi)= (Betrag von z)* (cos(phi)+i*sin(phi))= Wurzel aus x^2+y^2 * (x^2/(Wurzel aus x^2+y^2) + y^2/(Wurzel aus x^2+y^2)

Soll ich diese Gleichung über die Taylorentwicklung beweisen? Ich verstehe nicht wirklich, was mit der Frage gemeint ist. Ist der Gebrauch des Konvergenz/Quotientenkriteriums gemeint? Kann ich die Aufgb. mit vollst. Induktion lösen?

04.12.2018, 18:28

MatheFredo

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Edit: es sollte z statt t heißen

04.12.2018, 20:26

MatheFredo

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Könnte mir bitte jemand weiterhelfen? Ich verzweifele langsam an dieser Aufgabe. Forum Kloppe

Forum Kloppe

04.12.2018, 20:48

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$\begin{eqnarray*} (|z|e^{i\varphi})^n=|z|^n e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ Jetzt für $\begin{eqnarray*} e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ die Potenzreihe verwenden und in die Potenzreihen von sinus und cosinus zerlegen.

04.12.2018, 21:25

MatheFredo

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Verstehe ich noch nicht so wirklich.. Was meinst Du mit Potenzreihe bzw. welche Potenzreihe und wie funktioniert die Zerlegung von sinus und cosinus?

04.12.2018, 21:37

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Das habe ich doch alles aufgeschrieben: Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ und die Potenzreihen von sinus und cosinus.
Genau lesen: Es geht nicht um eine Zerlegung von sinus oder cosinus sondern eine Zerlegung der Potenzreihe der Exponentialfunktion in die Potenzreihen von sinus und cosinus.

Wenn du jetzt noch immer nicht verstehst, schreib die Potenzreihen der Exponentialfunktion, sinus und cosinus auf.

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04.12.2018, 21:43

MatheFredo

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Meinst Du:

e hoch i phi ) 1+ iphi/1!+(i^2phi^2)/2!+(i^3phi^3)/3!+ .....

= 1-phi^2/2! + phi^4/4! +/.... + i*(phi-phi^3/3!+phi^5/5!+/-....)

cos phi+i sin phi

Mehr muss man nicht machen?

04.12.2018, 21:46

MatheFredo

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Edit: Es solte heißen

e hoch i phi = 1+ iphi/1!+(i^2phi^2)/2!+(i^3phi^3)/3!+ .....

= 1-phi^2/2! + phi^4/4! +/.... + i*(phi-phi^3/3!+phi^5/5!+/-....)

cos phi+i sin phi

04.12.2018, 21:48

MatheFredo

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"Genau lesen: Es geht nicht um eine Zerlegung von sinus oder cosinus sondern eine Zerlegung der Potenzreihe der Exponentialfunktion in die Potenzreihen von sinus und cosinus."

Wo steht das explizit in der Aufgabenstellung?

Die 1. Aufg. lautet:

Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen weisen Sie für z= (Betrag von z)* e^(i*phi) den Zusammenhang z^(n) = (Betrag von z)^(n) * (cos(n*phi)+i*sin(n*phi)) nach.

04.12.2018, 21:49

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Das ist furchtbar zu lesen unglücklich

unglücklich

Mach das für $\begin{eqnarray*} e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ und du bist fertig
Edit: Das steht nicht in der Aufgabenstellung sondern in meinem ersten Beitrag

04.12.2018, 21:50

MatheFredo

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Wie funktioniert die LaTex Schreibweise? Ich würde es gleich dann direkt machen und dir zeigen wollen.

04.12.2018, 21:52

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code:
1:	[latex](\|z\|e^{i\varphi})^n=\|z\|^n e^{in\varphi}[/latex]

liefert
$\begin{eqnarray*} (|z|e^{i\varphi})^n=|z|^n e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$
Edit: Hier gibt es noch einen Formeleditor, der bei der Summe helfen könnte

04.12.2018, 22:10

MatheFredo

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$\begin{eqnarray*} e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1+ phi /1! + (i^2phi^2)/2!+ (i^3phi^3)/3! +/- ..... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1-phi^2/2! + phi^4/4! +/-.... + i*(phi-phi^3/3!+phi^5/5!+/-....[latex]<br /> <br /> <br /> [latex] e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ = [latex] cos phi + i * sin phi [latex]

04.12.2018, 22:14

MatheFredo

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Ich übe absofort mit der Latex-Schreibweise umzugehen. smile

smile

04.12.2018, 22:17

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Guter Vorsatz Freude

Freude

Ich gebe dir noch Starthilfe $\begin{eqnarray*} e^{iz}=\sum_{n=0}^\infty \frac {(iz)^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

hat den latex-code

code:
1:	[latex]e^{iz}=\sum_{n=0}^\infty \frac {(iz)^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}[/latex]

Wenn du in meinem Beitrag auf "zitat" klickst, kannst du den Code direkt verwenden.

04.12.2018, 22:22

MatheFredo

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Zitat:

Original von URL
Guter Vorsatz Freude

Freude

Ich gebe dir noch Starthilfe $\begin{eqnarray*} e^{iz}=\sum_{n=0}^\infty \frac {(iz)^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

hat den latex-code

code:
1:	[latex]e^{iz}=\sum_{n=0}^\infty \frac {(iz)^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac {(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}[/latex]

Wenn du in meinem Beitrag auf "zitat" klickst, kannst du den Code direkt verwenden.

$\begin{eqnarray*} e^{inphi}=\sum_{l=0}^\infty \frac {(iz)^l}{l!}=\sum_{l=0}^\infty \frac {(i*nphi)^{2l}}{(2l)!}+ i \sum_{l=0}^\infty \frac {(*n*phi)^{2l+1}}{(2l+1)!} \end{eqnarray*}$

cos phi + i * sin phi

Wie gehe ich nun weiter vor?

04.12.2018, 22:32

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Die Idee beim zitieren war, sich den benötigten Teil herauszukopieren, nicht das Vollzitat zu verwenden smile

smile

Aber sei dir verziehen, von mir aus kannst du in dem Thread noch ein bisschen üben. Es gibt hier einen workshop zu Latex.

In deiner rechten Seite sind noch einige Fehler. Berichtige die und ersetze $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n\varphi \end{eqnarray*}$ und du bist fertig.

04.12.2018, 22:37

MatheFredo

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So etwa s.o.?
Ich versuche später ein wenig nach Lösen einiger Aufgaben weiterzuüben. Aber Danke Dir! Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.12.2018, 22:38

MatheFredo

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& Mehr ist in der Aufgabe nicht verlangt?

04.12.2018, 22:40

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Nein, nein, nein. Du hast auf der linken Seite mit z angefangen, dann muss das auch rechts stehen. Außerdem hast du das mit den Potenzen von i vermurkst.

Wenn du diese Formel richtig gestellt hast, dann ersetzt du überall $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n\varphi \end{eqnarray*}$ und bist in der Tat fertig. Die Hauptaufgabe ist also, die Formel sauber aufzuschreiben.

04.12.2018, 22:50

MatheFredo

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$\begin{eqnarray*} e^{n\varphi} =\sum_{n=0}^\infty \frac {(i{n\varphi})^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac {(i{n\varphi})^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac {(i{n\varphi})^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos {n\varphi} + i sin {n\varphi} \end{eqnarray*}$

So etwa?

04.12.2018, 22:56

MatheFredo

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Ich habe versucht, es korrekt zu machen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

04.12.2018, 23:04

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Auf der linken Seite fehlt im Exponenten ein i, aber das nehme ich mal als Tippfehler. Kannst du deine Beiträge schon editieren? Dann könntest du das korrigieren.
Ob dein Korrektor damit zufrieden ist, hängt davon ab, wie genau er sehen will, dass die beiden letzten Reihen eben cos und sin sind. Richtig ist es allemal

04.12.2018, 23:07

MatheFredo

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wie hätte man denn sonst an die Aufgb rangehen können?

04.12.2018, 23:12

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Ich wüsste jetzt aus dem Stand keinen anderen Weg.
Was ich als Korrektor anstreichen würde ist folgendes: Bei dir wird aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac {(i{n\varphi})^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ einfach mal $\begin{eqnarray*} i\sin(n\varphi) \end{eqnarray*}$ . Ich würde da gern schon noch mindestens eine Zwischenschritt sehen wollen: Der Sinus hat Summanden mit alternierendem Vorzeichen, woher kommt das i vor dem sinus...so Zeug eben.

04.12.2018, 23:20

MatheFredo

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Hätte ich nicht einfach noch ein i vor dem Summenzeichen im 2. Summanden hinschreiben können?

04.12.2018, 23:21

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Nein, denn dann ist die Gleichung falsch.
Siehst du jetzt, warum ich als Korrektor - zu Recht - misstrauisch wäre.
Edit: Nimm die Summe aus meinem letzten Beitrag und mach dir ganz ausführlich klar, warum sie gleich $\begin{eqnarray*} i\sin(n\varphi) \end{eqnarray*}$ ist.

04.12.2018, 23:22

MatheFredo

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Mein Korrektor ist manchmal ziemlich pingelig bei solchen Kleinigkeiten. verwirrt

verwirrt

04.12.2018, 23:25

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Ich hätte dir ganz sicher Punkte abgezogen. Der Aufgabenstellung nach zu urteilen bist du am Anfang des Studiums. Ich kann dir nur raten, derlei Dinge ganz ausführlich aufzuschreiben. Das bringt nicht nur Punkte sondern auch Sicherheit bei Umformungen.

04.12.2018, 23:25

MatheFredo

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Zitat:

Original von URL
Nein, denn dann ist die Gleichung falsch.
Siehst du jetzt, warum ich als Korrektor - zu Recht - misstrauisch wäre.
Edit: Nimm die Summe aus meinem letzten Beitrag und mach dir ganz ausführlich klar, warum sie gleich $\begin{eqnarray*} i\sin(n\varphi) \end{eqnarray*}$ ist.

Die Summe ist $\begin{eqnarray*} i\sin(n\varphi) \end{eqnarray*}$ ist der Sinus, da wir alternierende Vorzeichen inkl. ungerade Exponenten haben bzw. Ordnungen -> der Sinus ist eine ungerade trig. Fkt.
Würde die Begründung reichen?

04.12.2018, 23:27

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Mir nicht, jedenfalls nicht bei einem Anfänger. Das ist alles nur Gelaber. In der Summe sehe ich erstmal kein alternierendes Vorzeichen. Wo siehst du es denn? Das alles kann man sauber aufschreiben - und sollte als am Anfang auch tun.

04.12.2018, 23:49

MatheFredo

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Danke sehr!

Hätte man noch hinzuschreiben können, dass i^(4n+1)= i ist? (Für n Element aus den natürl. Zahlen)

04.12.2018, 23:53

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Du drückst dich schlicht und ergreifend davor, das ordentlich aufzuschreiben unglücklich

unglücklich

Langsam nervt das. Und bestätigt noch mehr meine Skepsis.

05.12.2018, 00:15

MatheFredo

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Bevor ich es ordentlich aufschreibe, hätte ich noch eine Verständnisfrage:
Wieso ist e^(iphi)= 1+ iphi/1! + i^2phi^2/2! +i^3phi^3/3! +/- usw. geordnet dasselbe wie 1- phi^2/2! + phi^4/4! +/- ... + i*(phi-phi^3/3!+phi^5/5!+/-...)

Wie kommt das Alternieren hier zustande? Ich habe noch nicht wirklich verstanden, weshalb. In der Vorlesung wurde es aber auch nicht gründlich besprochen. Ich habe mich an dem in der Vorlesung gemachten Beispiel nur entlang orientiert

05.12.2018, 00:38

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Dass man die Reihe in beiden genannte Reihen zerlegen kann liegt an deren Konvergenzverhalten. Um welche Vorlesung handelt es sich denn da?
Das Alternieren hängt natürlich an den Potenzen von i. Aber zumindest das könntest du doch mal selber ordentlich aufschreiben.

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