Komplexe Zahlen Struktur

Neue Frage »

04.12.2018, 19:57	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Struktur Meine Frage: Hallo Weiß jemand wie die Sichtweise in Complex Analysis ist, ob ich C als linearen Raum über R der Dimension 2 oder als linearen Raum über C der Dimension 1 betrachte? Für eine Beantwortung wäre ich sehr dankbar! Liebe Grüße Marko Meine Ideen: Keine Idee
04.12.2018, 21:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ehrlich gesagt steht die Vektorraumstruktur, insbesondere Fragen nach der Dimension gar nicht im Vordergrund irgendwelchen Interesses in der komplexen Analysis. Klar wird benutzt, dass man addieren kann und so weiter aber eigentlich interessiert es da keinen, dass es sich bei der Struktur um einen linearen Raum handelt. Genauso wie es in Analysis 1 niemanden interessiert, dass R ein Vektorraum über sich selbst ist. Die Fragestellung ist eine ganz andere. Es gibt schon einen Bezug zum R^2 und das sind die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen, die haben aber auch wenig mit der Dimension zu tun.
04.12.2018, 22:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage hast du schon öfter gestellt, allmählich solltest du diese Frage vergessen und dich mit all den vielen Dingen beschäftigen, die in der Funktionentheorie wirklich wichtig sind.
04.12.2018, 23:46	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum macht man dann komplex analysis, wenn die Struktur nicht im Vordergrund steht. In Analysis 2 hatte man ja schon den R^2 behandelt. Da muss es doch einen Unterschied geben.
05.12.2018, 00:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In reeller und komplexer Analysis geht es nicht um R oder C und um Vektorräume sondern um reelle und komplexe Funktionen. Analysis=Differentiation und Integration. Deshalb heißt complex analysis auf deutsch Funktionentheorie.
05.12.2018, 00:09	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann leider nichts mit der Antwort anfangen. Warum redet man dann manchmal in der komplex Analysis von C oder R linearen Funktionen. Dann muss ja wohl doch eine Struktur hinterstecken, welche einen Unterschied macht. Es hört sich gerade so an, als wenn nur die Menge auf der in der komplexen Analysis operiert wird wichtig ist.
Anzeige

05.12.2018, 00:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal Butter bei die Fische: An welchen Stellen genau unterscheidet man denn zwischen C oder R linearen Funktionen?
05.12.2018, 00:18	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. in dem Satz, wann eine R-lineare Funktion von R^2 nach R^2 auch C linear ist.
05.12.2018, 00:30	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Funktion in einem Falle R linear ist und im anderen Falle C linear, dann folgt daraus, dass es in einem Falle C über C, im anderen Falle R^2 über R ist. Aufgrund des Körpers der den Unterschied macht, nämlich R und C, kann ich dann auch keinen Isomorphismus zwischen den Vektorräumen machen und Elemente identifizieren. Mein Prof nutzt allerdings einen Isomorphimus um Elemente in C und R^2 zu identifizieren.
05.12.2018, 01:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber doch nicht anders als bei jeder anderen Körpererweiterung [L:K] vom Grad 2. L ist zweidimensionaler K-Vektorraum aber eindimensionaler L-Vektorraum. Das ist sicher nicht das Entscheidende an der komplexen Analysis, denn sonst würde $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ viel mehr Beachtung finden Für mich spielte die R-Linearität in der komplexen Analysis nur eine Rolle, wenn es um Differenzierbarkeit, also Approximation durch eine lineare Abbildung, geht. Letztlich führt das dann auf die Cauchy-Riemanschen-DGL. Aber danach endet es auch für mich. Insofern kann ich mich nur dem Tenor von Guppi und Elvis anschließen.
05.12.2018, 08:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es genügt schon, auf Wikipedia unter Funktionentheorie die Einleitung und den Abschnitt Funktionentheorie in einer komplexen Variablen zu lesen, dann weiß man, worum es geht. Bevor man ernsthaft mit dem Studium von Funktionen beginnen kann, muss man natürlich den Definitionsbereich C kennen, das ist in der reellen Analysis auch nicht anders, bevor man reelle Funktionen studiert, befasst man sich mit Folgen und Reihen.
05.12.2018, 15:57	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber nochmal: Meine Frage wird irgendwie nicht beantwortet. Mir geht es um den Grund, warum man den Isomorphismus zwischen Elementen in C und R^2 nutzt, obwohl ja C ein C Vektorraum ist und R^2 ein R Vektorraum.
05.12.2018, 16:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
C ist als C-Vektorraum eindimensional, R^2 als R-Vektorraum zweidimensional. Da gibt es keinen Isomorphismus, jedenfalls keinen Vektorraumisomorphismus. Allerdings vermittelt $\begin{eqnarray} a+ib\mapsto (a,b) \end{eqnarray}$ einen Isomorphismus zwischen den abelschen Gruppen.
05.12.2018, 18:01	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hilft mir schonmal ein wenig mehr weiter. Aber welche abelsche Gruppe genau von R^2 über R und C über C?
05.12.2018, 18:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Vektorraum ist insbesondere eine Menge, auf der eine Addition definiert ist. Mit dieser Addition ist die Menge eine abelsche Gruppe.
05.12.2018, 18:57	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstanden, aber was bringt mir dann dieser Gruppenisomorphismus bezogen auf das Thema, wann eine R lineare Abbildung sogar C linear ist?
05.12.2018, 20:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine R-lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}^2,+) \end{eqnarray}$ . Mit dem genannten Gruppenisomorphismus kann man daraus einen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} F: (\mathbb{C},+) \to (\mathbb{C},+) \end{eqnarray}$ machen, der auch noch R-linear, man sollte besser sagen R-homogen, ist, d.h. $\begin{eqnarray} F(\lambda z)= \lambda F(z) \end{eqnarray}$ für reelle $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ jetzt auch noch C-linear sein soll, dann reicht die R-Linearität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht aus, um das zu gewährleisten. Vielmehr muss folgende stärkere Bedingung gelten: $\begin{eqnarray} f(Ax)=Af(x) \end{eqnarray}$ für jede Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Das führt dann wieder zu den Cauchy-Riemannschen-DGL. Keine Ahnung, ob dir das auf deiner Dimensionssuche - oder was immer du jetzt letztendlich suchst - weiter hilft.
05.12.2018, 20:44	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, bin jetzt leider etwas verwirrt. Ich dachte am Anfang, dass der Gruppenhomomorphismus bloß dazu da ist, um Elemente in R^2 über R und C über C zu identifizieren? Sprich wegen des Definitionbereichs der Funktion, die auf Linearität geprüft werden soll.
05.12.2018, 21:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den Gruppenisomorphismus $\begin{eqnarray} (\mathbb{C},+)\to(\mathbb{R}^2,+), a+ib\mapsto (a,b) \end{eqnarray}$ auch nur dafür benutzt. Dieser Isorphismus weiß übrigens nichts von "über R" oder "über C". Er kennt keine skalare Multiplikation sondern nur die abelschen Gruppen.
05.12.2018, 21:31	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit, dass er keine skalare Multiplikation kennt?
05.12.2018, 22:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss den Satz einfach.
05.12.2018, 22:53	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte es nicht erlaubt sein, dass die Funktion, welche den Isomorphismus zwischen den Gruppen darstellt, über eine skalare Multiplikation definiert ist?
06.12.2018, 16:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
In einer Gruppe gibt es nur eine Verknüpfung, hier die Addition. Deswegen ergibt es keinen Sinn, einen Gruppenisomorphismus über eine skalare Multiplikation zu definieren. Abgesehen davon ist eine skalare Multiplikation strukturell etwas ganz anderes, weil ein Element eines Körpers mit einem Element einer Gruppe verknüpft wird. Eine Gruppe hat nur eine innere Verknüpfung, d.h. es werden zwei Gruppenelement verkknüpft.
06.12.2018, 16:21	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich in C bin, habe ich ja auch eine Multiplikation zuR Verfügung: Z.B: Wenn ich (R,+) und (R+\{0},) identifizieren möchte, kann ich das über die exp-Funktion machen, denn exp(x+y)=exp(x)exp(y). Und die Exponentialfunktion besteht ja auch in ihrem Innersten aus Verknüpfungen (Multiplikation und Addition).
06.12.2018, 16:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und? Was ist dein Punkt?
06.12.2018, 16:29	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast vorhin behauptet, dass dieser Isomorphismus keine skalare Multiplikation kennt, obwohl wie wir ja gerade in meinem Beispiel gesehen haben, das der Isomorphismus auch aus einer Multiplikation bestehen kann im Allgemeinen. Also woher weißt du das?
06.12.2018, 16:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn in deiner Gruppe als Verknüpfung einen Multiplikation definiert ist, dann kannst du natürlich auch damit einen Isomorphismus definieren. Aber auch das ist dann eine innere Verknüpfung - keine skalare Multiplikation. Dass für den Isomorphismus $\begin{eqnarray} a+ib\mapsto (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \lambda(a+ib)\mapsto (\lambda a,\lambda b) \end{eqnarray}$ gilt, ist Zufall. Das sieht man auch an dem Umstand, dass es eben nicht für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ gilt. Im Übrigen sieht man hier auch, dass es durchaus "natürlich vorkommende" komplexe Funktionen gibt, die eben nur R-linear sind und nicht C-linear, z.B. $\begin{eqnarray} z\mapsto Re(z) \end{eqnarray}$ .
06.12.2018, 16:58	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann doch auch eine Verknüpfung die nicht identifiziert werden soll, für den Isomorphismus benutzen, welche wahllos auf meiner Menge definiert wurde und nichts mit irgendeiner Struktur zu tun hat oder nicht? Genauso wie es in meinem Beispiel mit der exp-Funktion so war, dass man eig zeigt, dass das Plus und Mal in beiden Gruppen sich gleich verhalten, aber ich ja für die Definition der Exponentialfunktion, welche meinen Isomorphismus darstellt die Körpermultiplikation von R brauche.
06.12.2018, 17:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Exponentialfunktion ist doch keine Verknüpfung. Eine Verknüpfung ist zweistellig, d.h. braucht zwei Argumente. Edit: Jetzt ahne ich, was du meinst. Das kannst du natürlich machen. Allerdings sehe ich noch immer keine skalare Multiplikation.
06.12.2018, 18:13	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, die Exponentialfunktion soll nicht die innere Verknüpfung sein, sondern die Funktion, welche den Homomorphismus darstellt, also das phi wie im Wikipediaartikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphismus
06.12.2018, 19:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich dann schon geahnt. Dennoch - keine skalare Multiplikation. Offen gesagt habe ich das Gefühl, dieser Thread führt zu genau nichts. Allem Anschein nach verstehe ich nicht, was dein Problem ist. Wie auch immer, ich bin hier raus und kann dir nur empfehlen, deinen Professor zu deinen Fragen zu konsultieren. Viel Glück.
06.12.2018, 19:48	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotzdem Vielen Dank, deine Kommentare haben mich auf jeden Fall einen Schritt weitergebracht mit dem Gruppenhomomorphismus!

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahlen Struktur

Verwandte Themen