Polynome und Lineare Abbildungen

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neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome und Lineare Abbildungen
Guten Abend liebe Mathefreunde,

ich habe das Thema lineare Abb. und Matrizen kurz angerissen und dazu folgende Aufgabe gelöst, zu der ich gerne eure Meinung einholen möchte. Vielleicht könntet ihr mir einige Tipps geben?

Sei der Untervektorraum aller Polynome vom Grad . Dazu ist die Zuordnungsvorschrift gegeben: .


1. Stelle die Abbildzuungsmatrix der lin. Abb. bzgl. der Monombasis

2. Welches Polynom entspricht dem Bild von

3. Finden Sie einen niht-trivialen Vektor aus dem Kern der lin. Abb.


Meine Lösung:


zu 1.: Bilde durch die Zuordnungsvorschrift die Bilder der Monombasis in . Diese sind dasnn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix:





zu2.: Multipliziere den Vektor von links mit der Abbildungsmatrix :






zu 3.: Für den Kern einer lin. Abb. gilt, dass in ihm alle Vektoren liegen, deren Bilder auf den Nullvektor abgebildet werden (vlt. nicht ganz korrekt formuliert, aber doch verständlich?)




Ein nicht-trivialer Vektor des Kerns ist nun ein Vektor, bei dem mindestens eine Komponente von null verschieden ist, so dass f(a)=0 wird.


Nehme icih die Abbildungsmatrix aus 2. So ist die 4. Zeile null, d.h. der gesuchte Vektor darf in seiner 4. Komponente eine von Null verschiedene Komponente beinhalten. also z.B.

Vielen Dank für eure tatkräftige Unterstützung

Vg neuling
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Die beiden ersten Teile sehen gut aus Freude
Bei 3. hast du dich allerdings vertan. Multipliziere doch mal deinen angegeben Vektor mit der Matrix.

Es gibt hier mehrere Möglichkeiten, den Kern zu bestimmen
- Löse das homogene LGS mit Gauß
- Wenn du Matrix*Vektor rechnest, ist das Ergebnis eine Linearkombination der Spalten der Matrix (wenn dir das nicht klar ist, mache es dir klar). Die Matrix hat jetzt schon eine Nullspalte..
- Vergiss die Matrixdarstellung. f hat mit der ersten und zweiten Ableitung von Polynomen zu tun. Überlege dir, was bei der Ableitung mit dem Grad eines Polynoms passiert.
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
@ URL:

danke für die Bestätigung von Teil i-ii) . Freude

bei Aufgabenteil iii) hatte ich auch zuvor überlegt die Funktionsvorschrift zu verwenden.

Zu deinem Hinweis: Bei der Ableitung verringert sich der Grad jedes abgeleiteten Monom-Terms um 1 Einheit.

Also müsste sein.

Da der Grad des Polynoms nicht größer als 3 sein darf, gilt:

[latex} P(X)=x^3+x^2+x^1+x^0[/latex]



Diese Gleichung nach x auflösen. Bin ich soweit richtig? Mit dem Wert von x hätte ich doch nun ein Urbild von f?
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
ist nicht die allgemeine Form eines Polynoms vom Grad höchstens drei. Du müsstest es mit allgemeinen Koeffizienten ansetzen. Dann kannst du mit und Koeffizientenvergleich weiter machen.

Alternativ: heißt nichts anderes als . Jetzt schau dir den Grad der beiden Seiten an
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
ok, du hast recht ich habe das spezielle Polynom genommen, bei dem die Koeffizienten den Wert 1 annehmen. besser ist das allgemeine zu verwenden:



Dessen Ableitungen sind:




Gleichsetzen:



Umgeformt zu homogener Gleichung ergibt sich:

.

Zu deinem obigen Hinweis: der Grad von p' ist um 1 Einheit höher als auf der rechten Seite. Doch wie bringt mich diese Information weiter? Hat dies etwas mit linearer Unabhängigkeit zu tun?
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Du musst dich schon für einen Weg entscheiden geschockt
Ich hatte doch geschrieben:
Zitat:
Dann kannst du mit p'-p''=0 und Koeffizientenvergleich weiter machen.
Alternativ..

Also bleib jetzt mal auf dem ersten Weg
 
 
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
dann muss ich aber in Richtung "Skalare" ausklammern und ein Gleichungssystem bilden:

dann hätte ich folgende Gleichung:


aber jetzt befürchte ich , bin ich auf dem falschen weg.
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Du bist ganz und gar auf dem richtigen Weg smile
Ein Polynom ist doch genau dann Null, wenn alle Koeffizienten Null sind. Was folgt also hier?
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
kann jetzt irgendwie nicht editieren, also noch ein Zusatz:

aus der Umformung ergibt sich dann das Gleichungssystem:



also

aber bei dem dritten Skalar bin ich mir nicht sicher.
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Was meinst du mit dem dritten Skalar? verwirrt
Deine Gleichungen sind richtig. Was folgt also daraus?
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
das lediglich der Nullvektor im Kern von f liegt und folglich kein nicht-trivialer Vektor im Kern vorhanden ist.

vielen Dank dir URL. Gott

manchmal brauche ich ein bisserl unterstützung, um zu verstehen, aber dann gehts vorwärts.
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Das ist jetzt aber mal geschmeidig falsch geschockt
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
dann musst du mich bitte an dieser stelle noch einmal abholen. wenn alle oder mache ich nun den Koeffizienzenvergleich falsch?
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Zitat:
wenn alle

schau nochmal genau hin - auch auf dein Polynom
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
oh man, klar, du hast recht, nur die Koeffizienten

Dann existieren doch beliebig viele nicht-triviale Vektoren im Kern, weil ich mir die letzte Komponente für wählen kann.

also ist ein nicht-trivialer Vektor im Kern (0,0,0,x) ,x=beliebige Zahl?
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
beliebig ist richtig. Aber der Vektor ist doch wieder falsch. Damit hast du es doch am Anfang schon versucht und es war falsch.
Bleib doch erstmal noch im Polynomraum. Wie sehen denn nun Vektoren im Kern von f aus? Wenn dir das klar ist, dann kannst du das auch problemlos mit deiner Basis aus Monomen in einen passenden Vektor übersetzen.
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Da die Koeffizienten des Polynoms den Vektor angeben, müsste doch (0,3,2,x) gelten? Hier hapert es bei mir.
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Wie du auf (0,3,2,x) kommst, ist mir vollkommen schleierhaft.
Nochmal: Wie sieht ein Polynom aus, das im Kern von f liegt?
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
auf die Gefahr hin, dass ich es immer noch nicht verstehe, aber wir haben nun durch Gleichsetzen von p'=p'' und anschließendem Koeffizientenvergleich die Koeffizienten ermittelt, unter denen die Terme mit verschwinden, d.h. zu null werden. dann bleibt doch von übrig
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Was soll denn nun wieder sein? unglücklich Meinst du ? In einem Polynom, das von T abhängt? unglücklich

Das ganze Prozedere führte zur Erkenntnis, dass ein Polynom aus dem Kern von f notwendigerweise die Form hat, wobei eine beliebige Zahl ist. Höchstens die konstanten Polynome kommen also als Elemente des Kerns von f in Frage - und sie sind auch Elemente des Kerns, wie man leicht nachrechnet.

Wenn du jetzt partout noch einen passenden Vektor angeben willst, dann musst du ein konstantes Polynom in deiner gewählten Basis aus Monomen darstellen
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
ja, ich muss einen nicht-trivialen vektor des kerns f angeben.

dann würde ich als konstantes polynom z.B. wählen. Aber jetzt muss ich dieses dann doch noch mit der Abbildungsmatrix aus Aufgabe 1 multiplizieren?
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
P(T)=1 ist eine mögliche Wahl. Damit hast du einen nichttrivialen Vektor aus dem Kern von f angegeben und bist fertig. Da gibt es nichts mehr zu multiplizieren.

Aber zur Übung: Wie sieht jetzt dieses P als Vektor geschrieben aus?
Und warum kann man ohne Rechnung schon sagen, was herauskommt, wenn du diesen Vektor mit der Matrix multiplizierst?
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
die Koeffizienten des Polynoms P(T) bilden den Spaltenvektor. da das Polynom konstant ist, sind alle Koeffizienten von also muss das Polynom als Vektor die Form ( 0,0,0,1) haben.

Multipliziert mit der Abbildungsmatrix von rechts, ist dies genau der vierte Spaltenvektor der darstellenden Matrix, da alle anderen Koeffizienten des Polynoms (als Vektor geschrieben) null sind.
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Ergänzung: (0,-6,3,1)
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Wie oft denn noch: ( 0,0,0,1) ist falsch und war von Anfang an falsch. Und wenn du die Matrix A mit diesem Vektor multiplizierst, dann kommt doch da nicht der Nullvektor heraus. Das müsste es aber doch, weil A die Darstellungsmatrix von f ist und der Vektor (0,0,0,1) doch zu einem Polynom im Kern von f gehören soll.

Du schaust einfach nicht auf deine Basis. Sie besteht aus den Monomen - in dieser Reihenfolge!
Der Vektor zu in dieser Basis ist also (1,0,0,0)
Und das Produkt dieses Vektors mit A ist der Nullvektor - so wie es auch sein muss.
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
URL du bist spitze. Gott

herzlichen Dank. Kannst du mir vielleicht noch ein schönes Buch zur LA empfehlen außer der Literatur von S.Bosch,G.Fischer ?
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Ganz abseits der - zumindest zu meiner Zeit - üblichen Literatur ist David C. Lay, Linear Algebra and its applications.
Vom Stil her wie die amerikanischen Bücher über Calculus, sprich Analysis. Viele Anwendungen, viele Bilder, alles sehr ausführlich und behutsam. Dafür ist der Umfang des Stoffes natürlich eingeschränkt. Als Ergänzung - gerade für die grundlegenden Themen - sehr schön, wenn man grundsätzlich auf o.g. Stil steht.
neuling2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Danke schön URL. Tanzen

den David, C Lay werde ich mir anschauen. Muss einfach ein gewisses Basis-Wissen wieder bekommen um mir viele Fragen zukünftig ohne häufige Verständnis-Nachfragen zu ebeantworten. "Hilfe zur Selbsthilfe" .

Ganz herzlichen Dank. Gott
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RE: Polynome und Lineare Abbildungen
Gern geschehen smile Wink
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