Gradient - Seite 2

09.12.2018, 00:33

Finn_

Wenn $\begin{eqnarray*} g(X,Y) \end{eqnarray*}$ geschönfinkelt wird, dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} \Phi(X)(Y):=g(X,Y) \end{eqnarray*}$ .
Bei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ handelt es sich nun um eine bijektive lineare Abbildung. Demnach existiert auch $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ . Es gilt nun
$\begin{eqnarray*} (df)(X) = g(\operatorname{grad} f,X) = \Phi(\operatorname{grad} f)(X). \end{eqnarray*}$
Da das unabhängig von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, gilt
$\begin{eqnarray*} df = \Phi(\operatorname{grad} f). \end{eqnarray*}$
Wenn man nach $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f \end{eqnarray*}$ umstellt, ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f = \Phi^{-1}(df). \end{eqnarray*}$

Der reine Formalismus, ohne darüber nachzudenken wie der hergeleitet wurde, funktioniert wie folgt. Bezüglich eines Rahmens $\begin{eqnarray*} (\mathbf g_k) \end{eqnarray*}$ (das ist eine Basis für jeden Punkt der Mannigfaltigkiet) gilt nun
$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\sum_{k=1}^n \omega_k\mathrm dx^k) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n g^{ij} \omega_i \mathbf g_j. \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathrm dx^i \end{eqnarray*}$ der Korahmen zu $\begin{eqnarray*} \mathbf g_j \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \mathrm dx^i(\mathbf g_j) = \delta_{ij}. \end{eqnarray*}$

Demnach ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(df) = \sum_{ij} g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathbf g_j = \sum_{ij} g^{ij}\frac{\partial\tilde f}{\partial u_j}\mathbf g_j \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \mathbf g_j \end{eqnarray*}$ jetzt durch eine lokale Karte induziert wird:
$\begin{eqnarray*} \mathbf g_j = \frac{\partial\varphi}{\partial u_j}(u). \end{eqnarray*}$

Die Notation soll übrigens bei einer Einbettung in den $\begin{eqnarray*} \mathbf R^m \end{eqnarray*}$ suggerieren:
$\begin{eqnarray*} g_{ij} = \langle\mathbf g_i,\mathbf g_j\rangle, \end{eqnarray*}$
wobei auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbf R^m \end{eqnarray*}$ steht.

09.12.2018, 01:00

Mesut95

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Also auch wenn ich das jetzt nicht soo gut verstehe möchte ich einmal den Gradienten berechnen für die Aufgabe 4.8.

Du hast mir 2 Formel aufgeschrieben welche ist nun die für den gradienten? Lass mich raten beide sind äquivalent Big Laugh

09.12.2018, 01:02

Finn_

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Die Rechnung in 4.2.3 im Bär lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial\tilde f}{\partial u^k} = (df)(\mathbf g_k) = g(\operatorname{grad} f,\mathbf g_k) = g(\xi^j \mathbf g_j,\mathbf g_k) = \xi^j g(\mathbf g_j,\mathbf g_k) = \xi^j g_{jk}. \end{eqnarray*}$
Es ist $\begin{eqnarray*} (g^{jk}) \end{eqnarray*}$ die inverse Matrix zu $\begin{eqnarray*} (g_{jk}) \end{eqnarray*}$ . Wenn man nun nach $\begin{eqnarray*} \xi^j \end{eqnarray*}$ umstellt, ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \xi^j = g^{jk}\frac{\partial\tilde f}{\partial u^k}, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \xi^j = \xi^j\circ\varphi \end{eqnarray*}$ sein soll.

Wie gesagt, setze $\begin{eqnarray*} g=I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=F \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} (g_{ij}) \end{eqnarray*}$ nichts anderes als die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g^{ij}) \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ .

09.12.2018, 01:09

Mesut95

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Zitat:

Original von Finn_
Die Rechnung in 4.2.3 im Bär lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial\tilde f}{\partial u^k} = (df)(\mathbf g_k) = g(\operatorname{grad} f,\mathbf g_k) = g(\xi^j \mathbf g_j,\mathbf g_k) = \xi^j g(\mathbf g_j,\mathbf g_k) = \xi^j g_{jk}. \end{eqnarray*}$
Es ist $\begin{eqnarray*} (g^{jk}) \end{eqnarray*}$ die inverse Matrix zu $\begin{eqnarray*} (g_{jk}) \end{eqnarray*}$ . Wenn man nun nach $\begin{eqnarray*} \xi^j \end{eqnarray*}$ umstellt, ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \xi^j = g^{jk}\frac{\partial\tilde f}{\partial u^k}, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \xi^j = \xi^j\circ\varphi \end{eqnarray*}$ sein soll.

Wie gesagt, setze $\begin{eqnarray*} g=I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=F \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} (g_{ij}) \end{eqnarray*}$ nichts anderes als die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g^{ij}) \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Ja genau. Ich habe eigentlich die ganze Rechnung verstanden nur nicht wie $\begin{eqnarray*} \xi = \xi \circ F \end{eqnarray*}$ zu stande kommt. Könntest du mir das vllt kurz erklären ?

09.12.2018, 01:18

Finn_

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Zitat:

Lass mich raten beide sind äquivalent

Ja, und es ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \xi^j = (\operatorname{grad}_p f)^j \end{eqnarray*}$
so dass
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}_p f = \sum_{j=1}^n \xi^j \mathbf g_j = \sum_{j=1}^n\xi^j \frac{\partial\varphi}{\partial u_j}(u) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} p=\varphi(u) \end{eqnarray*}$ .

Im Fall einer Fläche ist natürlich $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Die ist meistens in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=3 \end{eqnarray*}$ eingebettet.

09.12.2018, 01:30

Finn_

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Nun, zunächst ist $\begin{eqnarray*} \xi^j \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \xi^j(p) \end{eqnarray*}$ . Nach dem Umstellen hat man die partielle Ableitung von $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ , ausgewertet an der Stelle $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Demnach möchte man auch $\begin{eqnarray*} \xi^j \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ haben, damit alles nur noch von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ abhängig ist.

Da $\begin{eqnarray*} \xi^j \end{eqnarray*}$ nicht einer Ableitungsoperation unterzogen wird, braucht man da keine Kettenregel. Man setzt einfach $\begin{eqnarray*} p=F(u) \end{eqnarray*}$ ein. Somit ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \xi^j(p) = \xi^j(F(u)) = (\xi^j\circ F)(u). \end{eqnarray*}$
Die Abkürzung
$\begin{eqnarray*} \xi^j = \xi^j\circ F \end{eqnarray*}$
ist dabei mathematisch ungenau, oder falsch wenn man Haarspalterei betreibt.

09.12.2018, 01:39

Mesut95

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Ahhh ok ich verstehe das. Ich hatte

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2} g^{jk}(F^{-1}(p))\frac{\partial f}{\partial u_{k}}(F^{-1}(p) = \xi^j(p) \end{eqnarray*}$

und wenn man p=F(u) setzt kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2} g^{jk}(u)\frac{\partial f}{\partial u_{k}}(u) = \xi^j(F(u)) \end{eqnarray*}$

das verstehe ich jetzt supi Freude

Darf ich dich fragen was du Beruflich machst? Du bist ein Profi in diesem Gebiet der Mathematik, daher die Interesse geschockt

09.12.2018, 02:12

Mesut95

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Naja ich möchte mal nun eine Aufgabe machen wo ich das auch wirklich ausrechne:

Die Aufgabe 4.8:

Ich nehme dazu die Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} F=\begin{pmatrix} cos (x) \\ sin (y) \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Erste partielle Ableitungen von F:

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx} =\begin{pmatrix} -sin(x) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dy} =\begin{pmatrix} 0 \\ cos(y) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} g_{ij}=\begin{pmatrix} sin(x)^2 & 0 \\ 0 & cos(y)^2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} g^{ij}=\begin{pmatrix} 1/sin(x)^2 & 0 \\ 0 & 1/cos(y)^2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist nun $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x_{k}} \end{eqnarray*}$ ? Nun ja
$\begin{eqnarray*} \widetilde{f}=cos(x) \end{eqnarray*}$ , die Ableitung nach x ergibt -sin(x) nach y ergibt dies 0..

Also zusammenfassend habe ich für den Gradienten:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)^2}{sin(x)^2} \end{eqnarray*}$ das kann nicht sein oder ? Was habe ich falsch gemacht ?

09.12.2018, 02:25

Mesut95

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Ups falsche Parametrisierung genommen bin wohl zu müde aber egal nochmal Big Laugh

Also $\begin{eqnarray*} F(t,h)=\begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Partiellen Ableitungen sind:

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dt} =\begin{pmatrix} -sin(t) \\ cos(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dt} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw $\begin{eqnarray*} g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \widetilde{f}= f_{1} \circ F = cos(t) \end{eqnarray*}$

Ableitung nach t ergibt -sin(t)..

und nach h ergibt 0 ...

das bedeutet unser Gradient ist: -sin(t) verwirrt

Das stimmt auch nicht oder verwirrt

09.12.2018, 02:34

Mesut95

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Warum ich denke das es falsch ist:

$\begin{eqnarray*} I(grad f_{1}, \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix})=<-sin(t), \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$
das kann nicht sein traurig

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