Gradient

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient
Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich bin etwas verwirrt. Es geht um den gradienten.
So wie wir es in Analysis 2 gelernt haben ist der Gradient für Skalarfelder definiert:

Beispiel für Kartesiche Koordinaten im 2 Dimensionalen: (d/dx1,d/dx2).


Jetzt kommen einige Bilder die bei mir für Verwirrung gesorgt haben und ich hoffe das wird das hier klären können. Die Bilder sind vom Buch ?Differentialgeometrie? Christian Bär.

Meine Ideen:
Zunächst einmal zum Beispiel 4.2.2:
Hier wird ein Vektorfeld als Gradienten definiert. Der Gradient einer Skalaren Funktion ist ja auch ein Vektorfeld so verstehe ich das zumindest.

Allerdings verstehe ich dann nicht die Darstellung des gradienten in Beispiel 4.2.3.

In der Definition 4.2.4 taucht wieder der Begriff gradient auf.
Ist die Aufgabe 4.8 mit dem normalen Gradienten den man aus der Analysis 2 Vorlesung kennt lösbar ?
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RE: Gradient verwirrung
In Beispiel 4.2.2 ist der Vektor v(p) durch die Eigenschaft definiert. Durch wird ein Vektorfeld definiert und dieses Vektorfeld nennt Bär dann das Gradientenvektorfeld.
Über die Darstellung eines Vektorfeldes schreibt Bär im Absatz nach Beispiel 4.2.2. Diese Darstellung verwendet er dann in Beispiel 4.2.3 für das Gradientenvektorfeld.
 
 
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Hallo URL und danke für die Antwort.

Kann man einfach so den gradienten berechnen in Aufgabe 4.8 so wie man diesen aus der Analysis 2 kennt ? Ich glaube nicht, da wir nicht den Koordinatenraum als Defintionsbereich von f haben. Wie berechnet man es aber sonst wenn man eine Zylinderfläche hat?
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RE: Gradient verwirrung
Ich würde mich strikt an die Definitionen halten, die Bär gemacht hat.
Wie hat er denn definiert, das er in Beispiel 4.2.2 benutzt?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Die Definition ist wie folgt:

Mir ist das echt ein Rätsel verwirrt
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RE: Gradient verwirrung
Dann verstehe ich die rechte Seite in nicht. Ich dachte, das wäre das Skalarprodukt der beiden Tangentialvektoren v(p) und X, also eine Zahl.
Nach dem was du gefunden hast, wäre ein Tangentialvektor.
Außerdem ist hier f eine skalarwertige Funktion, keine Abbildung zwischen Flächen.
Also was ist ?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Mit I( v, X) hast du Recht. Das ist die erste Fundamentalform (siehe Bild).
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RE: Gradient verwirrung
Am Ende von Kapitel 3.2 erklärt er das Differential für den Fall
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Aber in wie fern hilft uns das weiter ? verwirrt
In Beispiel 4.2.2 ist f eine skalare Funktion wie du schon gesagt hattest.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
In Beispiel 4.2.2 steht ja eigentlich nichts anderes als: (siehe Bild von Wiki).

Trotzdem verwirrt mich das etwas mit dem Gradienten... Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher das dieser nicht der ist den man aus der Analysis 2 kennt..
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RE: Gradient verwirrung
n=1 !?
Zitat:
ch bin mir eigentlich ziemlich sicher das dieser nicht der ist den man aus der Analysis 2 kennt..

Das ist vermutlich einer der Gründe, warum Bär von dem Gradientenvektorfeld redet und du von dem Gradienten. Das sind erstmal völlig verschiedene Dinge.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Für n=1 hätte man doch dann den Gradienten verwirrt

Naja der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld , daher dachte ich das v=: grad f stimmen muss. v nennt man dann Gradientenvektorfeld.. verwirrt
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RE: Gradient verwirrung
Für n=1 hat man die benötigte Definition des Differentials für den Fall .
Die Definition ist genau anders herurm:
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Ich verstehe die Definition nicht. Da steht wobei das große D für die Jacobi Matrix steht..

Ich verstehe leider noch nicht den Ansatz den du machen möchtest..

Wir haben ja die Formel der Richtungsableitung gegeben durch:

.


Ich könnte die Aufgabe 4.8 mit lösen. Ich würde aber auch gerne wissen wie man diese mit löst.
Hier bin ich mir aber nicht sicher ob man den Gradienten so ausrechnet wie man ihn aus der Analysis 2 kennt.
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RE: Gradient verwirrung
Zitat:
Original von Mesut95
Ich verstehe die Definition nicht. Da steht wobei das große D für die Jacobi Matrix steht..

Das ist für den Fall mit .

Wie haben es hier mit einer gänzlich andersartigen Funktion f zu tun, nämlich , wobei S eine reguläre Fläche ist. Und dafür hat Bär in der Bemerkung am Ende von Kap 3.2 extra eine Definition von mit Hilfe einer glatten Kurve c gegeben.
Mit dieser Definition von erklärt er das Gradientenvektorfeld und damit dann die Richtungsableitung.

Zitat:
Hier bin ich mir aber nicht sicher ob man den Gradienten so ausrechnet wie man ihn aus der Analysis 2 kennt.

Nochmal: Es geht hier um das Gradientenvektorfeld, nicht um den Gradienten der Analysis Forum Kloppe
Halte dich an die Definitionen, vergiss jetzt Ana2
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
In der Bemerkung steht:


Man kann auch für glatte Abbildungen , die auf einer regulären Fläche S definiert sind, aber ihre Werte in annehmen, und das Differential



durch

definieren, wobei eine glatte parametrisierte Kurve ist mit c(0)=p und c'(0)=X.



Okay das habe ich jetzt verstanden. Es ist doch aber immer noch ein Rätsel wie
in der Definition der Richtungsableitung berechnet wird.. Das Problem liegt eindeutig an grad f(p), dieser wird als Gradientenvektorfeld definiert doch wie sieht das nun aus Hammer
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
hä warum wird ein teil meiner Formel so komisch angezeigt
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Mach Leerzeichen um den Doppelpunkt, dann klappt es vermutlich mit der Formel. Vorschau-button nicht vergessen

Ok, dann haben wir jetzt also für den vorliegenden Fall verstanden.
Das Gradientenvektorfeld wird jetzt durch die Beziehung definiert.
Wenn du also ein konkretes Gradientenvektorfeld sehen willst, musst du eins ausrechnen. Aufgabe 4.8 bietet sich da an.
Für wie in Aufgabe 4.8 komme ich auf das konstante Gradientenvektorfeld
Alles ohne Gewähr, ich beschäftige mich seit gestern zum ersten Mal mit dem Thema Big Laugh
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Kein Problem mir ist es wichtig das ich mit jemanden darüber diskutieren kann und im besten Fall können wir ja zusammen etwas lernen Freude

, das bedeutet dann:

grad f(p)= = .


hast du es auch so berechnet ?

Falls ja: Das ist doch dann genau der Gradient den man kennt.

Ich glaube aber das man das nicht immer so berechnen darf, aber wann man es nicht darf ist mir ein Rätsel Big Laugh


Wenn du auch zufällig das Buch vor dir hast: In Beispiel 4.2.3 wird der Gradient als
dargestellt. Vllt sollten wir diese Darstellung benutzen verwirrt
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Ich komme auf das Ergebnis, aber wie hast du es berechnet?
Die hemdsärmlige Rechnung funktioniert immer dann, wenn man f von der Fläche S auf eine offenen Teilmenge fortsetzen kann. Denn dann ist nach der Kettenregel (Analysis 2 Augenzwinkern ) also , wegen
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Aha langsam verstehe ich es! Tolles Gefühl danke Big Laugh


Ich kam auf das Ergebnis indem ich einfach den Gradienten von gebildet habe (siehe oben).

Nachdem was du geschrieben hast bedeutet das also:

Zitat:
wenn man f von der Fläche S auf eine offenen Teilmenge fortsetzen kann.


Den Gradienten von f können wir nur so berechnen weil nach Aufgabe gilt, denn dann befinden wir uns im Koordinatenraum Stimmt das ?


Was ist aber wenn die Fläche S keine Teilmenge von R^n ist oder wir keine Information bekommen ob S auf einer offenen Teilmenge U c R^n fortsetzbar ist ? Wie berechnet man dann I( grad f(p), Xp) bzw. grad f(p)?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Es geht, weil und f fortsetzbar.
Allerdings habe ich gerade das Problem, dass überhaupt nicht in liegt.

Ohne zusätzliche Informationen und Fortsetzbarkeit nutzt man die Definitionen aus: Man nimmt eine beliebige Kurve mit . Die Vektoren und haben jeweils drei Komponenten und . Mit folgt dann und weiter .
Also .
Das Gradientenvektorfeld muss also nach Definition für alle erfüllen. Hieraus habe ich geschlossen. Das mag der Fehler sein.

Vermutlich ist das auch der Fehler im hemdsärmligen . Man wird in einen Teil senkrecht zu und einen parallel zu zerlegen müssen. Den parallelen Teil sucht man.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient verwirrung
Kannst du mir vllt ein link senden wo ich mir das mit der fortsetzbarkeit nochmal durchlesen kann ? Wäre echt nett.



Also meinst du das (1,0,0) falsch ist ? verwirrt Wie siehst du das (1,0,0) nicht in TpS liegt ?

Wenn (1,0,0) falsch ist kann man es also doch nicht mit berechnen ? verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Metrik lässt sich schönfinkeln:

Das ist ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen, also eine bijektive lineare Abbildung. Warum ist das so? Lässt sich das auf andere Bilinearformen verallgemeinern?

Der Gradient lässt sich nun auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit so definieren:


Das ist die Lösung der Gleichung


Wenn man eine lokale Karte hat, ist auch eine konkrete Berechnung des Gradienten möglich. Man bestimmt einfach das totale Differential und hebt dann die Indizes mit der Darstellungsmatrix des inversen metrischen Tensors. Denn ist das Senken der Indizes und das Heben. Bezüglich einer lokalen Karte mit gilt nämlich

wobei

und

Im Ricci-Kalkül schreibt man dafür einfach:

Also ergibt sich

Um es noch einmal deutlich zu machen, ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung bezüglich der Basen, die durch die lokale Karte am Punkt induziert werden. Die Basisvektoren des Tangentialraums sind die partiellen Ableitungen der lokalen Karte.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Um der Verwirrung vorzubeugen, noch eine Ergänzung zu meiner Nomenklatur: Mit meine ich einen Vektor aus , mit ein Vektorfeld, und mit dieses Vektorfeld am Punkt , sodass gilt. Man kann abweichend davon aber auch setzen, wenn Vektorfelder noch nicht explizit vorkommen.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Finn und danke für die Antwort. smile

Bevor ich auf dein Beitrag näher eingehe möchte ich verstehen was du mir erklären möchtest. Möchtest du mir erklären wie man den Gradienten berechnet, wenn der Definitionsbereich von f NICHT der Koordinatenraum ist und man diesen zusätzlich wie @URL schrieb nicht auf einer Offenen Teilmenge U c R^n fortsetzen kann?

Ich würde gerne mal ein paar dinge geklärt haben:

- Ist es nun so das man grad f = berechnen kann, wenn S cR^3 ist und f fortsetzbar ist ? (wie sieht man das f fortsetzbar ist?)

- Ist es dann Richtig wenn man Aufgabe 4.8 so berechnet?

- Wenn man keinerlei Informationen hat ob es eine Offenen Teilmenge gibt, sodass f darin fortsetzbar ist so rechnet man mit der Definition von dp weiter ODER kann den Gradienten berechnen wie @Flynn es beschrieben hat, denn dann ist der Definitionsbereich von f nicht der Koordinatenraum??


Ist das so richtig ?

Zu deinem Beitrag:


Woher weiß du das auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Gradient so definiert ist ? Woher hast du das (würde es auch gerne lesen) ?


SO du hast nun die Formel definiert für den Gradient



wie kommst du von dieser auf die Gleichung ? Insbesondere frag ich mich von wo v kommt ?

Den Rest den du aufgeschrieben hast verstehe ich überhaupt nicht. unglücklich
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist zumindest schon einmal richtig gestellt. Es müssen liegen für .

Hier ist . Der Definitionsbereich ist natürlich auf eingeschränkt. Dieser lässt sich über Zylinderkoordinaten angeben:

Es ergibt sich nun

Da der Tagentialraum immer parallel zur z-Achse liegt, ist nun unerheblich. Das heißt, es muss

sein für jedes . Das ist natürlich der Fall, denn ist Parametrisiert durch

und es gilt nun

Weil definitionsgemäß der Tangentialvektor am Punkt ist, gilt .

Auch für

ist die z-Komponente wieder unerheblich. Demnach muss

sein. Der Nullvektor ist natürlich in jedem Vektorraum enthalten.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum gehst du nicht auf meine Fragen ein ? verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung

steht im Bär in Beispiel 4.2.2 als Definition von .

Die Gleichung kann man aber einfach nach umstellen, wie ich beschrieben habe.

Dass invertierbar ist, hängt damit zusammen, dass nicht ausgeartet ist. Bezüglich einer lokalen Karte soll die Darstellungsmatrix von doch an jedem Punkt invertierbar sein. Die Darstellungsmatrix ist aber nichts anderes . Die Nichtausartung einer symmetrischen Bilinearform ist gerade so definiert, dass man beim Schönfinkeln eine bijektive Abbildung erhält.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay.
Ich hab ja verstanden das man die Aufgabe 4.8 mit dem differential berechnen kann und wie das geht verstehe ich auch, aber was ist mit I( grad f(p), Xp)?
Wenn ich grad f so berechne wie ich es aus der Analysis 2 kenne komme ich exakt auf das selbe Ergebnis... warum ist das so?
Das ist dann so wegen den was URL In seinem Beitrag um 14:00uhr erklärt hat oder ? Und die Formel was du gezeigt hast benutzt man wenn der Definitionsbereich von f nicht der Koordinatenraum ist stimmts ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung

gilt unter der Voraussetzung, dass (die Koordinatendarstellung von) die identische Abbildung ist. Der metrische Tensor wird dann zur Einheitsmatrix.

Im Allgemeinen gilt


Es gibt für grad die beiden Schreibweisen

und

wobei ein Punkt und ein Vektor ist.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hmm okay.
Ich hab ja verstanden das man die Aufgabe 4.8 mit dem differential berechnen kann und wie das geht verstehe ich auch,

Ja, man kann einfach rechnen:

denn es gilt


Das nennt sich duale Paarung von und .

Zitat:

aber was ist mit I( grad f(p), Xp)?
Wenn ich grad f so berechne wie ich es aus der Analysis 2 kenne komme ich exakt auf das selbe Ergebnis... warum ist das so?

Wie schauen denn , und in diesem Fall aus?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke für die Informationen Freude
Echt sehr interessant was du hier erzählst geschockt Das ist dein Gebiet man merkt das!


Ich möchte viel mitnehmen deswegen frage ich soviel Big Laugh

sind doch die Einträge der Matrix des 1.Fundamentalform. In diesem Fall muss man doch die 1.Fundamentalform von der Parametrisierung F berechnen oder ? Und Phi weiß ich nicht verwirrt

WO kann man das alles nachlesen was du schreibst ?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Einen link zur Fortsetzbarkeit kann ich dir nicht geben. Es ist halt im Fall von aus Aufgabe 4.8 offensichtlich, dass man sie zu einer differenzierbaren Funktion auf fortsetzen kann.

(1,0,0) ist sicher falsch. Das sieht man schon daran, dass zur Berechnung die Fläche S überhaupt nicht benutzt wird. Wäre es richtig, dann wäre für alle Punkte p auf allen Flächen S. Das ist offenbar Unfug. Man kann nach meiner Meinung das Gradientenvektorfeld mit Hilfe von berechnen, indem man eben wie gesagt auf projiziert.

Ich bin hier raus, Finn_ fühlt sich allem Anschein nach berufen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Unachtsamkeit von mir noch: Man muss aufpassen wonach man genau ableitet. Denn wenn eine Koordinatendarstellung betrachtet wird, muss man zu auch eine Koordinatendarstellung betrachten. Für eine lokale Karte und gilt dann

Wenn eine abstrakte Mannigfaltigkeit ist, dann kann die gar nicht angegeben werden. Demnach lässt sich auch nicht angeben. Das ist nur für die lokale Darstellung möglich, die auf einer Teilmenge des Koordinatenraums definiert ist.

Man müsste jetzt mit der Kettenregel argumentieren. Das allein wird aber nicht ausreichen. Man benötigt noch gewisse Spitzfindigkeiten. Und wenn man nicht den genauen Durchblick in linearer Algebra hat, kann das sehr undurchsichtig werden.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
WO kann man das alles nachlesen was du schreibst ?


Nun, die Hälfte steht doch schon im Bär drin. Setze , , und .

Sonst würde ich noch das Skript »Differentialgeometrie« von Daniel Grieser zum vergleichen empfehlen, das hat moderne Terminologie.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke ich werde mir das alles gründlich durchlesen. Ich melde mich dann wieder nachts Freude
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo hier bin ich wieder smile

Wie kommt man von der letzten gleichung zu der Implikation?

Mir ist aufgefallen das du in deinem ersten Beitrag genau das für die Formel des gradienten aufgeschrieben hast ( nur ohne f welle..). Im Buch steht das, dass xi verkettet F ist verwirrt Das Thema ist echt anstrengend geschockt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst eine relativ einfache Überlegung, die mir aber für das Verständnis wesentlich erscheint.

Bei der dualen Paarung ist es nicht von Belang, ob nun ein Skalarfeld oder dessen Koordinatendarstellung vorliegt.

Sei ein Skalarfeld auf , also . Hat man nun eine lokale Karte mit , dann besitzt eine lokale Darstellung gemäß . Sei bzw. . Es gilt nun



Das lässt sich wie folgt einsehen. Nach der Kettenregel gilt:

Das ist aber die Richtungsableitung von in Richtung des Basisvektors
Die partielle Ableitung in die Richtung des Basisvektors ist aber Definitionsgemäß nichts anderes als die partielle Ableitung .

Demnach gilt


Merke: wenn es eine hübsche Formel gibt, dann die duale Paarung von Differential und Vektorfeld. Die Formel ist gewissermaßen in doppelter Weise hübsch. Einerseits weil man so tun kann, als läge wieder eine Orthonormalbasis vor, gemäß Für das Standardskalarprodukt gilt ja Andererseits wegen
.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok interessant Freude

Wie kommt man aber von der letzten Gleichung zur Implikation?
Wieso ist der Gradient bei dir genauso definiert wie im Buch die Implikation?
Im Buch steht xi verkettet F aber bei dir grad f.. verwirrt

PS: Danke für die Mühe und die Geduld! Big Laugh smile
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