Skalarprodukt Orthogonalität und nicht entartet

08.12.2018, 09:14

JosephK

Skalarprodukt Orthogonalität und nicht entartet

Hallo liebe Gemeinde!

Ich bin bei einer Aufgabe auf einen Denkfehler von mir gestoßen, den ich schon einmal hatte, damals aber umgehen konnte und jetzt, natürlich, kommt er doch wieder auf.

Folgendes: Ich habe ein Skalarprodukt <f(v),w> und weiß, dass f(v)=0 ist (da v in diesem Fall im Kern(f) ist), und damit folgere ich <f(v),w>=0. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das wirklich so einfach folgern kann (ich muss zeigen dass f(v),w orthogonal sind).
Das ist gerade meine aktuelle Anwendung, aber der (vermutliche) Denkfehler ist allgemeiner, deswegen würde ich die Frage nochmal im Allgemeinen formulieren:

Ich denke, dass jedes Skalarprodukt eine symmetrische, nicht entartete Bilinearform ist.
Nicht entartet heißt, laut unserer Definition, wenn eine Bilinearform <x,y>=0, dann gilt für alle x e X, dass y=0, und für alle y e Y, dass x=0.
Folgt daraus dann aber nicht, dass eine nicht entartete Bilinearform <x,y> nur Null wird, wenn x=0 und y=0 ?
So hatte ich es bisher verstanden. Für die Orthogonalität hieße das dann aber, dass zwei Vektoren x,y nur orthogonal sind, wenn beide Null sind, was das ganze ja ad absurdum führt.

Da ich weiß, dass das nicht wirklich sein kann, versuche ich mir Konstellationen zu überlegen, dass ein Skalarprodukt <x,y>=0 ist, aber x,y nicht null sind. Dann wäre die Abbildung aber entartet, laut meiner Definition, und somit kein Skalarprodukt mehr. Da ist der Wurm in meinem Kopf.

Vielen Dank schonmal!

08.12.2018, 09:27

Elvis

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Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform. Positiv definit heißt $\begin{eqnarray*} <x,x>\ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} <x,x>=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ heißen orthogonal, wenn $\begin{eqnarray*} <x,y>=0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig: " Ich habe ein Skalarprodukt <f(v),w> und weiß, dass f(v)=0 ist (da v in diesem Fall im Kern(f) ist), und damit folgere ich <f(v),w>=0."
Das ist falsch : "<x,y>=0, dann gilt für alle x e X, dass y=0, und für alle y e Y, dass x=0."

08.12.2018, 09:48

JosephK

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Hallo Elvis, vielen Dank schonmal!
Das kreist die Problemursache schon einmal ein.

Das hier:

Zitat:

Original von Elvis

Das ist falsch : "<x,y>=0, dann gilt für alle x e X, dass y=0, und für alle y e Y, dass x=0."

habe ich aus diesem Text, aus unserem Buch damit verstanden:

Zitat:

Eine Bilinearform b auf VxW heißt nicht ausgeartet in der ersten Variablen, wenn aus b(v,w)=0 für alle w e W folgt, dass v=0 ist. Analog heißt b nicht ausgeartet in der zweiten Variablen, wenn aus b(v,w)=0 für alle v e V folgt, dass w=0 ist. Falls b in beiden Variablen nicht ausgeartet ist, so nennen wir b eine nicht ausgeartete Bilinearform und die Räume VxW nennen wir ein duales Paar von Räumen oder duales Raumpaar bezüglich b.

Versuche es nochmal zu übersetzen:
b ist nicht entartet. Falls b(v,w)=0 folgt dann daraus für alle w e W, dass v=0. Also ist v=0, egal, welches w e W ich nehme. Für alle v e V folgt aber auch, dass w=0. Also ist w=0.
Damit folgt aus b(v,w)=0, dass v=0, w=0, da b nicht entartet ist... und wieder hab ich das gleiche. Wo biege ich falsch ab?

08.12.2018, 10:00

URL

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So ähnlich auch hier: wenn aus b(v,w)=0 für alle w e W folgt, dass v=0 ist.
"für alle w e W" ist noch eine Bedingung, die Folgerung v=0 kommt danach.

Bei dir wird daraus "Falls b(v,w)=0 folgt dann daraus für alle w e W, dass v=0"
also "für alle w e W" ein Teil der Folgerung.

08.12.2018, 10:16

JosephK

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super, danke!

Zitat:

Original von URL

So ähnlich auch hier: wenn aus b(v,w)=0 für alle w e W folgt, dass v=0 ist.
"für alle w e W" ist noch eine Bedingung, die Folgerung v=0 kommt danach.

also es gibt zwei Bedingungen: b(v,w)=0 (1. Bed) und es gilt für alle w e W (2. Bed), dass v=0(Folgerung)

Das heißt, es kann b(v,w)=0 sein und für mindestens ein (oder einige) w heißt das, dass v=0, aber nicht für alle. Dann ist b(v,w) aber entartet.

Das heißt b(v,w)=0, und v=0 ist nur nicht entartet, wenn es für alle w e W gilt.

Ich hoffe, ich habe das nun korrekt verstanden?

Ist denn nun jedes Skalarprodukt wirklich nicht entartet?

08.12.2018, 10:23

JosephK

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Ich habe noch eine Frage, dann im Bezug auf das hier:

Zitat:

Original von Elvis

Das ist richtig: " Ich habe ein Skalarprodukt <f(v),w> und weiß, dass f(v)=0 ist (da v in diesem Fall im Kern(f) ist), und damit folgere ich <f(v),w>=0."

Das folgere ich dann also nicht aufgrund von der nicht-entartetheit, sondern woraus? Aus diesem Punkt der Definition?

Zitat:

Original von Elvis
. Positiv definit heißt $\begin{eqnarray*} <x,x>\ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} <x,x>=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, wenn ich ein Skalarprodukt auf X habe mit <x1,x2>=0, mit x1,x2 e X, dann folgt, dass x1 oder x2=0 ist?

08.12.2018, 10:46

Elvis

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Das erste folgt aus der Linearität, genauer aus der Homogenität, im ersten Argument: $\begin{eqnarray*} <0,y>=< \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \cdot 0,y>= \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \cdot<0,y>= \end{eqnarray*}$ 0

Das zweite ist falsch. Wenn 2 Vektoren senkrecht aufeinander stehen, so ist ihr Skalarprodukt gleich 0. Keiner der beiden Vektoren muss $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Man redet nicht von entarteten Skalarprodukten. Was soll das denn sein ?

08.12.2018, 11:12

URL

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Ich glaube, du hast es noch nicht verstanden.
Vielleicht mal so formuliert: Eine Bilinerform b heißt nicht ausgeartet, wenn folgendes gilt: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} b(v,w)=0 \end{eqnarray*}$ kann nur dann für alle w gelten, wenn v =0 ist.
Gleichbedeutend: Ist b eine nicht entartete Bilinearfom und ist $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann findet man ein w mit $\begin{eqnarray*} b(v,w)\neq 0 \end{eqnarray*}$
Bei einem Skalarprodukt sieht man letzteres z.B. so: Ist $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann wählt man $\begin{eqnarray*} w=v \end{eqnarray*}$ und hat damit ein w gefunden mit $\begin{eqnarray*} <v,w>=<v,v>\neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

also es gibt zwei Bedingungen: b(v,w)=0 (1. Bed) und es gilt für alle w e W (2. Bed), dass v=0(Folgerung)

Für mich ist das nur eine Bedingung " $\begin{eqnarray*} b(v,w)=0 \end{eqnarray*}$ für alle w."
Die Folgerung lautet: Dann ist v=0

Hat man es dagegen mit einer entarteten Bilinearform zu tun, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit folgender Eigenschaft: Für alle w ist b(v,w)=0

08.12.2018, 11:42

JosephK

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Danke dafür!

Zitat:

Original von Elvis
Das erste folgt aus der Linearität, genauer aus der Homogenität, im ersten Argument: $\begin{eqnarray*} <0,y>=< \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \cdot 0,y>= \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \cdot<0,y>= \end{eqnarray*}$ 0

Das zweite ist falsch. Wenn 2 Vektoren senkrecht aufeinander stehen, so ist ihr Skalarprodukt gleich 0. Keiner der beiden Vektoren muss $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Man redet nicht von entarteten Skalarprodukten. Was soll das denn sein ?

Ich hatte gespeichert, dass jedes Skalarprodukt eine symmetrische, nicht entartete Bilinearform ist. Ich glaube, darin könnte mein Fehler liegen. Dass das so nicht stimmt, bzw. nicht zusammenhängt.

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