Stetigkeit und Hochpunkt

08.12.2018, 16:50

whatssefak

Stetigkeit und Hochpunkt

Heyho ihr Mathekönner,

wir hatten diese Woche als Überthema die Stetigkeit und ich versuche mich gerade in das Thema hineinzuarbeiten.
Zuerst haben wir den Häufungspunkt einer Menge D durch eine Folge definiert, und zwar in eigenen Worten so:
D ist die Defimenge. In der Defimenge kann man Folgen (xn) definieren. Wenn man die Folge für n gegen unendlich schickt, dann muss man dem HP x0 beliebig nahe kommen können. (zusätzlich darf das n-te Glied der Folge nicht xo sein)

Die Definition habe ich eher nicht verstanden (oder?). im Internet fand ich die Epsilon Defi, die mir leichter fällt, aber unser Prof will auf den Üblatt, dass wir mit der anderen Defi arbeiten.

Verstehe ich die Definition mit der Folge richtig, dass
z.B. bei der D = [0,1]
Wenn ich sag 0,5 ist HP.
Dann gibts ne Folge 0.49 0.499 0.49999 etc. gibt, die gegen 0,5 geht für n gegen unendlich.
Aber bis jetzt war es so, dass wie für Folgen immer ne konkrete Vorschrift hatten, z.B. (an) = 1/n. Braucht man das hier dann nicht, sondern man sagt einfach 1 -> 0.49 , 2 -> 0.499 , ... Also das man die Folge so definiert?
Aber woher weiß ich dann, dass die für n --> gegen 0,5 konvergiert, weil ich hab ja keine "Folgenvorschrift".

Und das 2. war dann Stetigkeit. Wieder nicht mit Epsilon, sondern dem blöden Folgenkriterium.
Das hängt doch iwie mit dem HP zusammen?
Da kuckt man sich die ein Wert x0 der Defimenge an und sagt er ist stetig,
1)falls x0 HP der Defimenge ist
2)falls der Funktionswert vom limes des der Folge = dem Funktionswert des HP

Das zentrale was ich an dem ganzen nicht checke ist, was mit Folge gemeint ist. Für mich ist Folge bis jetzt immer ne Abbildung N -> irgend ne Menge und man hat irgend ne Vorschrift wie an = 1/n gegeben.
Wenn ich verstehe, was da jetzt anders ist, dann verstehe ich das ganze glaube ich.

Macht sich jemand die Mühe meinen Quark zu lesen und mir zu helfen?

P.S. wie kann man euch Helfern eig. ne Kleinigkeit zu Weihnachten schenken?

08.12.2018, 17:59

Elvis

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Mein Weihnachtswunsch: Ich wünsche mir, dass korrekte deutsche Sprache in Wort und Schrift in diesem Matheboard gepflegt werde. Augenzwinkern

Häufungspunkt: Ein Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist Häufungspunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , wenn in jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Punkt $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ der Menge liegt. Dafür braucht man keine Folgen, es genügt, ein Umgebungssystem von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zu haben. So lässt sich der Begriff in jedem metrischen Raum und jedem topologischen Raum definieren.

Stetigkeit: Das ist von der Bedeutung her so ähnlich, die Formulierung schenke ich mir zunächst.

Der Vorteil allgemeiner Begriffe besteht darin, dass man sich nicht auf reelle Mengen und Funktionen und nicht nur auf dafür gültige Definitionen ( $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterien) beschränkt.

08.12.2018, 18:15

whatssefak

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Das bringt mich ehrlich gesagt 0 weiter.
Wir haben auf dem Ü Aufgaben, bei denen wir Funktionen auf Stetigkeit überprüfen müssen.

Im Skript haben wir Setigkeit so definiert:
Es sei D Teilmenge der reellen Zahlen und f die Abbildung von D auf die reellen Zahlen.
Sei x0 aus D ein HP von D. f heißt stetig in x0, falls gilt:

Für jede Folge (xn) in D mit xn --> x0 (n geg. unendl.) gilt
lim f(xn) = f(x0)

kurz: (xn --> x0) --> (f(xn) --> f(x0)).

Ich verstehe nicht, was damit gemeint ist: "Für jede Folge (xn) in D mit xn --> x0"
Folgen haben doch immer ne "Vorschrift". Z.B. 1/n. Ist das hier nicht so?
Ist das hier z.B. einfach 1-->0,1 ; 2--> 0,001 ; 3 --> 0,0001 (iwie sowas)

08.12.2018, 18:18

Elvis

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Folgen sind Funktionen, Funktionen haben nicht immer eine Vorschrift, also haben Folgen nicht immer eine Vorschrift. Du musst viel mehr von konkreten Funktionen und Folgen in konkreten Mengen abstrahieren. Dein Professor wünscht sich offenbar zu Weihnachten, dass du beginnst, abstrakte Mathematik zu betreiben.

Definition der Stetigkeit: Es gibt nicht $\begin{eqnarray*} die \end{eqnarray*}$ Funktion von D nach R, also sagt die Stetigkeit in einem HP nicht etwas über die Funktion f aus sondern über eine Funktion f. Funktion "auf" bedeutet, dass f surjektiv ist, das ist bei stetigen Funktionen nicht notwendig.

08.12.2018, 18:24

whatssefak

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Zitat:

Original von Elvis
Folgen sind Funktionen, Funktionen haben nicht immer eine Vorschrift, also haben Folgen nicht immer eine Vorschrift. Du musst viel mehr von konkreten Funktionen und Folgen in konkreten Mengen abstrahieren. Dein Professor wünscht sich offenbar zu Weihnachten, dass du beginnst, abstrakte Mathematik zu betreiben.

Des Weiteren haben wir einen Häufungspunkt so definiert:
Sei D Teilmenge der reellen Zahlen und x0 aus D.
x0 heißt Häufungspunkt von D, falls es eine Folge (xn) gibt, welche Teilmenge von D ist und für die gilt limxn = x0 & xn ist nicht x0.

Was ist dann limxn ? Z.B. Intervall [0,1]. 0,5 ist HP. Was wäre da jetzt die Folge xn dazu?

08.12.2018, 18:27

Elvis

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Das ist egal. 0,5 ist HP des abgeschlossenen Intervalls [0,1], weil es eine Folge gibt, die in [0,1]\{0,5} gegen 0,5 konvergiert. Es gibt unendlich viele solche Folgen, also gibt es eine. Mehr als eine Folge braucht die Definition nicht.

08.12.2018, 18:33

whatssefak

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Zitat:

Original von Elvis
Das ist egal. 0,5 ist HP des abgeschlossenen Intervalls [0,1], weil es eine Folge gibt, die in [0,1]\{0,5} gegen 0,5 konvergiert. Es gibt unendlich viele solche Folgen, also gibt es eine. Mehr als eine Folge braucht die Definition nicht.

ahhhhh so langsam verstehe ich es. Also ist z.B. (0.49 , 0.499, 0.4999 , ...) oder?

Und sowas wie (-5 , -1) vereinigt {0} vereinigt (1,5)
Dann wäre 0 kein HP, weil weil es keine Folge in dieser Menge gibt, die gegen 0 konvergiert, weil sowas wie 0,000001 ja nicht in der Menge liegt.

Richtig Verstanden? verwirrt

08.12.2018, 18:40

Elvis

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Ja, alles korrekt. Tipp: Löse dich von den Dezimalzahlen, die sind viel zu speziell, um die reellen Zahlen zu verstehen.
Ein schönes Beispiel für eine Folge, die gegen 1/2 konvergiert ist die Folge (0,1,1/4,3/4,3/8,5/8,...)=(1/2-1/(2^n),1/2+1/(2^n)) mit n=1,2,3,...

08.12.2018, 18:44

whatssefak

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, alles korrekt. Tipp: Löse dich von den Dezimalzahlen, die sind viel zu speziell, um die reellen Zahlen zu verstehen.
Ein schönes Beispiel für eine Folge, die gegen 1/2 konvergiert ist die Folge (0,1,1/4,3/4,3/8,5/8,...)=(1/2-1/(2^n),1/2+1/(2^n)) mit n=1,2,3,...

Ah stimmt, so kann man sich gut Folgen basteln, indem man einfach den Wert nimmt und dann ne Nullfolge dranhängt. Klasse, schau, auf sowas komm ich leider nicht von alleine. Gott

Endlich kann ich weiter machen Tanzen

08.12.2018, 22:34

whatssefak

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[attach]48484[/attach]

Okay. Kann man das so machen:

Vorüberlegungen: sgn(Betrag(x)) = 1 für alle x/{0} und 0 für x=0
Der Sin(1) ist ungefähr 0.841, also ist die Funktion nicht stetig.

Beweis: Sei xn eine Folge und xn > 0 für alle n und xn ---> 0
Dann ist lim(sin(sgn(betrag(xn))) = 0.841 (ungefähr). Außerdem ist sin(sgn(betrag(0)) = 0.
Also ist die Funktion unstetig.

Völlig falsch Herangehensweise?

08.12.2018, 23:26

whatssefak

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[attach]48486[/attach]

Hier will ich Stetigkeit zeigen.
Um Stetigkeit zu zeigen, muss ich zeigen, dass f in allen Punkten stetig ist.
Das ist bereits der Punkt an dem ich hänge.

Untersuchung der fraglichen Stelle x0 = 0.
Sei xn > 0 für alle n aus N und xn ---> 0 (n gegen unendlich).
Dann gilt lim(exp(xn)-1) = 1-1 = 0 = exp(0) -1.

Sei an < 0 für alle n aus N und an ---> 0 (n gegen unendlich).
Dann gilt lim(10an) = 0

Daraus folgt, dass die Funktion in der Stelle x0 stetig ist.
Falls das stimmen sollte, wie zeige ich, dass f in allen Stellen stetig ist.
Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass die exp und Polynome stetig sind. Muss ich das iwie verwenden?

09.12.2018, 11:45

Elvis

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Bitte bei neuen Aufgaben einen neuen Thread aufmachen.

Die Stetigkeit von Funktionen ist immer für alle Punkte aus dem Definitionsbereich zu prüfen. Deine Überlegungen sind richtig, aber etwas mehr Formalismus würde deinen Ergebnissen gut tun.

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=sin(1)\ne 0 \end{eqnarray*}$ ist konstant für alle $\begin{eqnarray*} x\ne 0 \end{eqnarray*}$ , also stetig für $\begin{eqnarray*} x_0\ne 0 \end{eqnarray*}$ (beachte, dass ich wieder die völlig überflüssige Dezimalzahl vermieden habe).
$\begin{eqnarray*} lim_{n\to \infty}\frac 1 n=0,lim_{n\to \infty}f_1(\frac 1 n)=sin(1)\ne0=f_1(0) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ unstetig an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ (wie man sieht, geht das ganz prima ohne $\begin{eqnarray*} \epsilon, \delta \end{eqnarray*}$ .

Für den Nachweis der Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muss man beweisen, dass für jede Folge gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die Folge der Funktionswerte gegen den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Für den Nachweis der Unstetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genügt ein Gegenbeispiel, also eine Folge gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ so dass die Folge der Funktionswerte nicht gegen den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

09.12.2018, 12:05

whatssefak

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Danke

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