Verteilungsfunktion: Lebensdauer eines Systems mit 3 Komponenten

08.12.2018, 17:39

mrclndr

Verteilungsfunktion: Lebensdauer eines Systems mit 3 Komponenten

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Ein System bestehe aus den Komponenten K1, K2, K3, die hintereinander geschaltet sind, d.h. das System fällt aus, wenn mindestens eine Komponente ausfällt.

Dabei wird angenommen, dass die Lebensdauern der Komponenten K1, K2, K3 durch unabhängige, stetig verteilte Zufallsvariablen X1, X2, X3 beschrieben werden können. X1 sei exponentialverteilt mit Erwartungswert 1/Theta>0, X2 und X3 seien identisch verteilt mit Dichte [Dichtefunktion von X2 und X3].

Man berechne Verteilungsfunktion und Dichte für die zufällige Lebensdauer S des Systems.

Was ich weiß/errechnet habe: S=min(X1,X2,X3), F(x) für X1 ist $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\theta x} \end{eqnarray*}$ für x>=0, F(x) für X2 und X3 ist $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\theta \sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$ für x>0.

Ich kann, um auf die Verteilungsfunktion F(x) von S zu kommen, folgende Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} P(S>x)=P(X_{1}>x, X_{2}>x, X_{3}>x)=e^{-\theta(x+2\sqrt[3]{x})} \end{eqnarray*}$

für x>0. Das ist soweit alles aus dem Lösungsbuch und konnte ich auch selbstständig nachprüfen. Die konkrete Verteilungsfunktion von S für x>0 ist dann aber laut Lösung nicht das oben ausgerechnete Ergebnis, sondern $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\theta(x+2\sqrt[3]{x})} \end{eqnarray*}$ .

Warum genau ist das so? Weil ich quasi, um die Verteilungsfunktion zu erhalten, P(S>x) wieder umdrehen muss? Das Resultat von P(S>x) habe ich mir quasi implizit als $\begin{eqnarray*} 1-(1-e^{-\theta(x+2\sqrt[3]{x})}) \end{eqnarray*}$ zu denken, und die Verteilungsfunktion, die ja z.B. von der Form P(S=x) oder P(S<=x)=P(S=0)+...+P(S=x-1)+P(S=x) wäre, wäre dann analog eben $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\theta(x+2\sqrt[3]{x})} \end{eqnarray*}$ , da ich ja nicht von der Gesamt-WK abziehen muss? Vielen Dank!

09.12.2018, 11:23

Huggy

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RE: Verteilungsfunktion: Lebensdauer eines Systems mit 3 Komponenten
Ohne deine Ausführungen im Detail gelesen zu haben, scheint es doch so, dass die Rechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit erfolgt und im letzten Schritt des Lösungsbuches von der Gegenwahrscheinlichkeit wieder zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit übergegangen wird.

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