Lineare Unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen

09.12.2018, 14:46

shrekkles

Lineare Unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen

Meine Frage:
Hallo, mit ein wenig Rechnen kann man relativ schnell erkennen, ob die folgenden Teilmengen lin. abh. oder unabh. sind, jedoch wurde mir gesagt, dass diese Eigenschaft auch ohne Rechnen sofort zu erkennen sei. Könnt ihr mir vielleicht sagen, woran?
R steht für reelle Zahlen
Alle sind R Untervektorräume.
{2x^2+3x-2, x^3+1, x^3 +5x^2+6x+3, x^2+25x, 16x^3+x^2} Teilmenge von R[x]

{1, x-3,x^2+4x,x^3-x^2} Teilmenge von R[x]

Danke und mfG

Meine Ideen:
x^T steht für transponiert.
das {(0,1,1)^T,(0,0,0)^T,(1,0,0)^T} zB wegen dem Nullvektor sofort linear abhängig ist ist mir klar.
oder auch, dass {(1,1,0)^T,(1,1,1)^T, (1,0,0)^T} offensichtlich in der Stufenform vorliegt, woraus ersichtlich ist, dass alle Koeffizienten = 0 sein müssen.

09.12.2018, 14:50

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RE: lineare unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen
Die erste Menge erzeugt einen Unterraum U von R[x], in dem höchstens Polynome vom Grad 3 vorkommen.
Welche Dimension hat der Unterraum V von R[x], in dem alle Polynome vom Grad höchstens 3 vorkommen?

09.12.2018, 15:01

shrekkles1

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RE: lineare unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen
die dim der ersten Menge ist 4 denke ich, die des UVRs mit allen Polynomen dritten Grades auch.
Deswegen gilt dim(U) = dim(V) => U=V.
Da UVRs nach Definition linear unabhängig sind, ist also auch die genannte Teilmenge linear Unbhängig. Richtig?

MfG

09.12.2018, 15:07

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RE: lineare unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen
Wie kommst du auf dim(U)=4? Ich sehe das nicht direkt. Es ist aber auch nicht nötig. Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} \dim(U)\leq 4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Da UVRs nach Definition linear unabhängig sind

Verstehe ich nicht, Welche Definition soll das sein?

Interessanter ist hier die Frage: Wie viele Elemente hat die erste Menge?

09.12.2018, 15:12

shrekkles2

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RE: lineare unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen
Da habe ich wohl viel durcheinander gebracht hehe. Ok. von vorne.
dim ( U )<= 4.
Die Teilmenge hat jedoch 5 Elemente, ist also kein minimales Erzeugendensystem, weshalb ein Element der Menge überflüssig sein muss?

09.12.2018, 15:16

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RE: lineare unabhängigkeit ohne Rechnen erkennen
Richtiger Gedanke. Hier ist allerdings nur die lineare (Un)Abhängigkeit gefragt, um ein Erzeugendensystem geht es nicht. Ist die erste Menge also linear unabhängig?