Faktorisierung eines Polynoms vervollständigen ohne Klammern aufzulösen

09.12.2018, 15:32	Himmelsgebrand	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierung eines Polynoms vervollständigen ohne Klammern aufzulösen Meine Frage: Ich frage mich, ob es für Terme folgender Art auch etwas gibt, ohne die schon "fast fertige" Faktorisierung aufzulösen. $\begin{eqnarray} f(x) = \prod\limits_{i\in I}(x - a_i) + b \end{eqnarray}$ Mit anderen Worten: Das $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ "auf die Klammern verteilen", ohne sie aufzulösen. Meine Ideen: Mit Klammern auflösen ist einfach. Es kommt ein Polynom wie: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\in I}a_i x^i + b \end{eqnarray}$ raus, und dann kann man die Nullstellen finden -> Faktorisierung aufschreiben. Nehmen wir einmal das Beispiel: $\begin{eqnarray} g(x) = (2-x)((5-x)(-4-x)+18) \end{eqnarray}$ Die Faktorisierung startet schon damit, dass die Nullstelle 2 sofort abgespalten werden kann und nur noch mit: $\begin{eqnarray} (5-x)(-4-x)+18 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (x-5)(x+4)+18 = 0 \end{eqnarray}$ gerechnet werden muss. Ich habe schon raus, dass für den Restterm $\begin{eqnarray} (x-2)(x+1) \end{eqnarray}$ rauskommt, aber das Ergebnis ist hier unwichtig. Ich suche nach einem alternativen Ansatz, weil seien wir ehrlich: das Ausklammern und zurückbasteln ist mühselig, speziell ab Klammer nummer vier. Polynom vierten Grades und mehr nach x auflösen? Gute Nacht... Gibt es da irgendwelche Fälle, wo man sich Arbeit sparen kann?
09.12.2018, 17:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für b=0 ist es einfacher, sonst sehe ich keine Chance, das Polynom einfacher darzustellen. Man sieht, wie sich die Nullstellen bei (kontinuierlicher) Änderung von b (kontinuierlich) verschieben und die Anzahl der (reellen) Nullstellen größer oder kleiner wird.

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