Basis Untervektorraum Teilmenge |
| 10.12.2018, 00:00 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis Untervektorraum Teilmenge Beweisen oder Wiederlegen Sie A) Seien V,W zwei Vektorräume aus dem R^n V Teilmenge W. Es sei Bw die Basis von W. Dann gibt es eine Basis von V mit Bv Teilmenge Bw. B) seien V,W aus dem R^n. Bw und Bv seien die Basen von V und W. Dann ist Bv Vereinigt Bw eine Basis von V+W. C) Seien V,W aus dem R^n und V geschnitten W der Nullvektor. Dann ist die Vereinigung der basen Bw und Bv eine Basis von V+W. ( hier ist das Pluszeichen in einem Kreis , ich weiß allerdings nicht genau was es bedeutet) Meine Ideen: Zu A) ich denke, es ist nicht wahr. Denn es gibt ja immer unendlich viele Basen durch linear Kombination. Zu B) ich denke es ist ebenfalls falsch, da durch die Vereinigung lineare Abhängigkeit entstehen kannst |
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| 10.12.2018, 00:36 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst einmal sollten wir klären, was ihr unter der Basis eines Vektorraums versteht, wo es im doch unendlich viele gibt. Danach solltest Du deinen Glauben durch ein Gegenbeispiel untermauern. Viel Glück dabei. 
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| 10.12.2018, 01:16 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Besten Dank für deine Antwort. Also wir haben eine Basis als ein minimales Erzeugendensystem definiert. Ok ich versuche es mal mit einem Beispiel. Sei V=((2,0), (0,2),(1,1)) W=((2,0),(0,2),(1,1),(3,3)) Dann könnten die Basen so aussehen: Bv=((1,0),(0,1)) Bw=((2,0),(0,1)) Und damit wäre Bv keine Teilmenge von Bw. So hatte ich mir das gedacht. |
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| 10.12.2018, 09:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist nur, daß deine Mengen V und W keine Vektorräume sind. 
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| 10.12.2018, 11:00 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh ja, dass stimmt. Wie wäre es so: V=((0,0)) W=(x€R^2:x=y) Bv=((0,0)) Bw=((1,0),(0,1)) Damit wäre Bv keine Teilmenge von Bw. |
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| 10.12.2018, 11:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
W=(x€R^2:x=y) Was soll das sein ??? Bw ist keine Basis von . Mengen schreibt man mit Mengenklammern {...} und nicht mit runden Klammern (...) |
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| 10.12.2018, 11:05 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum ist Bw keine Basis von W? Ich kann doch damit alle Vektoren erzeugen. Mhh..ich stehe irgendwie auf dem Schlauch 
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| 10.12.2018, 11:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für (x,y)=(1,0) gilt nicht x=y |
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| 10.12.2018, 11:19 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wäre dann eine Basis von W Bw={(1,1)} |
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| 10.12.2018, 11:22 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja |
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| 10.12.2018, 11:26 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok danke. Aber wie genau ist das mit den Durchschnitt? So wie man es von Mengen kennt? Einfach schauen, ob gleiche Vektoren vorhanden sind? |
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| 10.12.2018, 11:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist so. Durchschnitt und Vereinigung sind Begriffe aus der Mengenlehre. Diese Begriffe sind auf Vektorräume und Basen von Vektorräumen anwendbar, weil Vektorräume und Basen von Vektorräumen Mengen sind. Für die Aufgabe A) genügt aber nicht ein Beispiel. Wenn du beweisen möchtest, dass diese Aussage immer gilt, musst du sie für alle Untervektorräume V und W von R^n mit V Teilmenge von W beweisen. |
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| 10.12.2018, 12:02 | Bolzano-Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, vielleicht so: Sei v1€V dann folgt v1€W. Sei nun Bv die Basis von V und Bw die Basis von W, muss Gelten Bv teilmenge von V und Bv Teilmenge von W. Da Bw ebenfalls eine Teilmenge von W ist muss gelten Bv ist auch Teilmenge von Bw |
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| 10.12.2018, 12:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falsch, das ist auch nicht die Aussage der Aufgabe. |
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| 10.12.2018, 13:20 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, wenn ich hier reingrätsche, aber Bolzano-Weierstraß schrieb am Anfang
Ich denke das Gleiche. Von daher würde ein Gegenbeispiel natürlich reichen, um zu zeigen, dass die Aussage in A) falsch ist. |
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| 10.12.2018, 13:52 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch wenn das Thema schon etwas fortgeschritten ist, wollte ich mein obiges Posting noch mal erläutern, da der Sprachgebrauch noch immer falsch ist. Ein Vektorraum besitzt - bis auf ganz wenige Ausnahmen - immer mehrere, meistens unendlich viele verschiedene Basen. Es ist also nur dann sinnvoll von der Basis zu sprechen, wenn klar ist, welche damit gemeint ist. Beispielsweise ist die Bezeichnung "die kanonische Basis" korrekt, da damit die Einheitsvektoren gemeint sind. Zu meinem Zusatz: Nicht alle Aussagen von oben sind falsch, aber bei diesen reicht ein Gegenbeispiel zur Wiederlegung. Für die korrekten Aussage muss ein Beweis her. |
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