Stetigkeit f(x) = x^3 (mit Epsilon-Delta)

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Ulysses13 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit f(x) = x^3 (mit Epsilon-Delta)
Meine Frage:
Zeigen Sie mit Hilfe der Definition von Stetigkeit (also ohne Zuhilfenahme von Sätzen aus der Vorlesung), dass die Funktion für jedes stetig ist.

Meine Ideen:
Also meine Idee bisher lautet wie folgt:




Jetzt muss ich ja "nur" noch das zweite Produkt abschätzen, so dass kein x mehr übrig bleibt, oder nicht?
Damit tue ich mich jedoch schwer
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich den zweiten Faktor und nicht das Produkt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist . Du kannst also jeden Summanden getrennt gegen irgendwas konstantes abschätzen, das auch von abhängen darf.

Es ist bei sowas immer eine gute Idee, zu versuchen, das geeignet durch abzuschätzen, denn ist variabel und ist konstant. Damit das geht, sollte man sich überlegen, dass es für möglich ist, so zu wählen, dass ist, wenn gilt.
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis Freude

Würde es dann so weitergehen?



Damit hätte ich ja mein Epsilon bzw mein Delta gefunden und die Stetigkeit wäre somit bewiesen
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung müsstest du noch einmal überdenken. Außerdem musst du auch noch zeigen, dass man so wählen kann, dass gilt.
Ferner geht das, wie ich bereits sagte, nur für , du musst diesen Spezialfall also auch noch betrachten.
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich wähle:



verwirrt

Das mit den Quadraten hielt ich für richtig, da doch das Quadrat größer ist, wenn auch die Zahl größer ist, oder nicht?


Das mit schau ich mir an, sobald ich den ersten Teil erledigt habe
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Quqdraten stimmt schon, nur solltest du dabei deine Klammersetzung beachten. Nehmen wir mal an, und . Dann ist , aber ist wohl eher nicht richtig oder?
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also




Demnach muss ich also alle Zweien mit in die Betragstriche ziehen und erhalte dann

Also statt


erhalte ich


Und da ich ja dann erhalte, würde ja für

Aber, da ja gelten muss, muss auch gelten
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich scheitert das schon viel früher. Du darfst nur wählen, wenn gilt, das ist für natürlich nicht der Fall.
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich bedinge, dass und das ist ja äquivalent zu
Folgt


Und diese Bedingung brauche ich ja, damit ich überhaupt die Abschätzung vornehmen kann.

Also müsste unter diesen Bedingungen mein Stetigkeitsbeweis mit bzw. abgeschlossen sein, oder nicht?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bei der Definition von das Quadrat vergessen. Außerdem musst du bei der Wahl von irgendwie mit einbauen, dass das kleiner als sein soll.

Zum Beispiel so: .
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, daran hatte ich überhaupt nicht gedacht.

Danke sehr smile
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