Tangenten und Sehnenviereck(e)

10.12.2018, 14:18

rxxg

Tangenten und Sehnenviereck(e)

Meine Frage:
Ein Tagentenviereck ABCD sei mit seinem Inkreismittelpunkt gegeben. Weiters werden auf die Strecken zu I Senkrechte in den Ecken gezeichnet. Die Schnittpunkte dieser Senkrechten bilde erneut ein Viereck EFGH. Es soll gezeigt werden, dass I desses Diagonalenschnittpunkt ist

Meine Ideen:
Ich habe bereits die Winkel im Tagentenviereck benannt und auch alle anderen Winkel eingezeichnet (da jeweils die Vierecke AEBI, BFCI, ... Sehnenvierecke sind und man den Peripheriewinkelsatz über alle vier Sehnen anwenden kann).

Meine Idee wäre es nun zu zeigen, dass das Dreieck EFGH ein Sehnenviereck ist und dann zu zeigen, dass sich die Diagonalen eben im rechten Winkel schneiden, wie es bei Sehnenvierecken der Fall ist.

Leider hänge ich gerade, da ich es nicht schaffe zu zeigen, dass im Dreieck EFGH die gegenüberliegenden Winkel 180° ergeben, obwohl ich schon sehr viel gerechnet und bereits Vieles versucht habe...

Ist meine Grundidee überhaupt richtig?

10.12.2018, 15:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von rxxg
Meine Idee wäre es nun zu zeigen, dass das Dreieck EFGH ein Sehnenviereck ist und dann zu zeigen, dass sich die Diagonalen eben im rechten Winkel schneiden, wie es bei Sehnenvierecken der Fall ist.

Irrtum:

Z.B. ist jedes Rechteck auch ein Sehnenviereck, aber sofern es kein Quadrat ist, schneiden sich dessen Diagonalen nicht in einem rechten Winkel. unglücklich

Tipp: Sehnenvierecke ist schon mal ein gutes Stichwort, aber es müssen die "richtigen" sein.

Hier etwa sind $\begin{eqnarray*} AEBI \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} BFCI \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} CGDI \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} DHAI \end{eqnarray*}$ jeweils Sehnenvierecke. Das bedeutet u.a., dass die vier Punkte jeweils auf einem Kreis liegen und sich so über den Umfangwinkelsatz einige interessante Winkelberechnungen in den Ecken $\begin{eqnarray*} E,F,G,H \end{eqnarray*}$ ergeben...

10.12.2018, 16:16

rxxg

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ohja, du hast rech! Da ist mir ein wirklich schlimmer Denkfehler unterlaufen verwirrt

Ich weiß zwar nicht ganz auf was du hinauswillst, aber das mit den Sehnenvierecken und die Winkelberechnungen habe ich in meinem ersten Beitrag schon erwählt und auch schon ausgerechnet.

Ich habe aber eine weitere Idee:
Wenn ich wüsste, dass EFGH ein Sehnenviereck wäre (das fehlt mir eben in meiner Argumentation noch), dann könnte ich ja mit Hilfe des Sehnensatzes auch zeigen, dass einige Winkel gleich sind, beispielweise über der Sehne EF wäre dann die Winkel EHF und EGF gleich. Damit kann ich dann auch zeigen, dass die Dreiecke EIG und FGI sowie die Dreiecke EFI und IGH ähnlich sind und ich wäre fertig.
Was mir jedoch fehlt ist die Argumentation, warum EFGH ein Sehnenviereck ist, darin liegt mein Problem.

10.12.2018, 16:27

HAL 9000

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Ich hab mir deine Skizze jetzt nochmal in der Vergrößerung angesehen und erkannt, dass du die von mir erwähnten Winkelgleichheiten ja schon eingetragen hast!

Das reicht doch schon fast: Die Inkreis-Existenz bewirkt, dass $\begin{eqnarray*} AI,BI,CI,DI \end{eqnarray*}$ jeweils Winkelhalbierende sind, d.h., es ist $\begin{eqnarray*} \alpha_1=\alpha_2=\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta_1=\beta_2=\frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \gamma_1=\gamma_2=\frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \delta_1=\delta_2=\frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du

$\begin{eqnarray*} |\angle IEF| + |\angle EFG| + |\angle FGI| = \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma+\beta}{2} + \frac{\delta}{2} = 180^{\circ} \end{eqnarray*}$

nachweisen und bist fertig.

P.S.: Und ja, du hast Recht, es ergibt sich auch, dass EFGH ein Sehnenviereck ist - aber was nützt dir das allein, wenn du keinen Bezug zu $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ herstellst? Ziemlich wenig, fürchte ich.

10.12.2018, 16:49

rxxg

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Auf das Argument mit der Winkelsymmetrale habe ich gar nicht gedacht. Das ist natürlich ein toller Lösungsweg und auf diese Weise brauche ich das Sehnenviereck gar nicht, das stimmt! Danke für die Hilfe! smile

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