Identitätssatz

12.12.2018, 09:25	LeaAnalysis1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Identitätssatz Hallo, es geht um folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{n})= (-1)^n \frac{1}{n^3} \end{eqnarray}$ Ich muss überprüfen, ob es eine solche Funktion f im Nullpunkt gibt. Der Identitätsatz sagt, 2 holomorphe Funktionen f,g einen gemeinsem HP auf er Menge $\begin{eqnarray} \{ z \in \mathbb C : f(z)=g(z) \} \end{eqnarray}$ haben müssen. In meinem Fall denke ich, dass es eine solche Funktion nicht gibt, denn: Betrache $\begin{eqnarray} n=2k \end{eqnarray}$ und setze $\begin{eqnarray} z=\frac{1}{2k} \end{eqnarray}$ Definiere $\begin{eqnarray} g(z)=z^3 \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} f(z)=g(z) \forall z=\frac{1}{2k} \end{eqnarray}$ insbesondere ist g holomorph in 0 und die Menge $\begin{eqnarray} \{ z \in \mathbb C: z=\frac{1}{2k}\} \end{eqnarray}$ hat einen HP in 0. Aber für n=2k+1 mit der Setzung $\begin{eqnarray} z=\frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(z) \ne g(z) \end{eqnarray}$ also ein Widerspruch. Ist das so richtig ?

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