f total diff. in 0, f(0)=0, g stetig in 0 => fg in 0 total diff.

12.12.2018, 20:50	Bubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
f total diff. in 0, f(0)=0, g stetig in 0 => fg in 0 total diff. Meine Frage: Hallo, $\begin{eqnarray} f: U-> \mathbb{R}, g: U-> \mathbb{R}, U \subset R^n \wedge 0 \in U \end{eqnarray}$ mit f(0)=0 und g ist stetig. Außerdem ist f total differenzierbar in 0 und g ist nicht generell stetig sondern nur stetig in 0. Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} f \circ g \end{eqnarray}$ in 0 total differenzierbar ist. Außerdem soll die totale Ableitung $\begin{eqnarray} D(f \circ g) (0) \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Meine Ideen: Ich bin hierbei gerade leider etwas Ansatzlos. Habe bisher etwas stupide mit Grenzwertsätzen an der Definition der Ableitung rumgespielt und wollte zeigen, dass die Ableitung der Komposition minus die Ableitung von f gleich 0 ist. Den Versuch habe ich auf gut Glück ohne viel Verstand unternommen und dementsprechend ohne Resultat. Kann mich vielleicht jemand in die richtige Richtung weisen? Grüße, Bubbles Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
13.12.2018, 00:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eines vorweg: bitte verwende nicht $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ (\circ) für die Multiplikation, dieses Zeichen steht für die Verkettung von Funktionen. Nutze stattdessen $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ (\cdot). Die Idee bei der Aufgabe ist, dass wenn wir doch voraussetzen würden, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ total differenzierbar ist, die Produktregel besagen würde, dass $\begin{eqnarray} D(f\cdot g)(0) = g(0)(Df)(0)+f(0)(Dg)(0) = g(0)(Df)(0) \end{eqnarray}$ . Das hängt gar nicht von $\begin{eqnarray} (Dg)(0) \end{eqnarray}$ ab, also ist die Hoffnung, das es nicht so schlimm ist, wenn $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gar nicht differenzierbar ist und das auch in diesem Fall der obige Wert für das Differential herauskommt. Versuche also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{fg(h)-fg(0)-g(0)(Df)(0)h}{\\|h\\|} = \lim_{h\to 0}\frac{fg(h)-g(0)(Df)(0)h}{\\|h\\|} = 0 \end{eqnarray}$ . Tipp: Füge auf dem Bruchstrich mit dem Term $\begin{eqnarray} g(h)(Df)(0)h \end{eqnarray}$ eine nahrhafte Null ein.
13.12.2018, 09:35	bubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das ist mir jetzt etwas peinlich. Ich habe das Verkettungszeichen ganz Bewusst benutzt weil ich davon ausgegangen bin, dass es eine Verkettung ist. Ich habe jetzt aber gerade nochmal auf die Aufgabe geschaut und da steht tatsächlich ein Multiplikationszeichen Naja, mit der Multiplikation hat die Aufgabe geklappt. Vielen Dank für deine Hilfe!

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