Gleichung modellieren

13.12.2018, 12:08

Der Graus

RE: Gleichung modellieren

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
ihr habt mir zu diesem Thema schon einmal so super weitergeholfen, aber ich habe noch eine weitere Frage:
Es geht um eine stark vereinfachte Modellierung der Computer Tomographie:
Ich habe ein 3x3 Quadrat also mit 9 kleinen Quadraten, von drei Seiten lasse ich jewiels 3 Strahlen durchlaufen, und kann dann durch die mir bekannt eingehende und wieder herauskommende Strahlung die Abschwächung der einzelnen Kästchen errechnen.

Meine Ideen:
Das Lösen des so entstehenden linearen Gleichungssystem mit dem Gauss Verfahren habe ich hinbekommen, ich möchte die Modellierung aber noch verfeinern und die Länge der Kästchen mit einbeziehen(die Länge ist ja anders, wenn man die Strahlen einfach senkrecht oder diagonal durchlaufen lässt). Doch wie baue ich das in die Gleichung ein?
S= eingehende Strahlung (immer gleich) E1= austretene Strahlung

S-a-b-c=E1

Mein Gedanke war in etwa so a=L(Länge)*?
Aber hier komme ich dann nicht weiter...
Hat da jemand Anregungen?

Ich habe doch noch eine Idee gehabt:
Für einen Strahl ergibt sich folgende Gleichung:
S*((L(a)*x(a))+(L(b)*x(b))+(L(c)*x(c))=E

L=Länge des Kästchens
x= Abschwächungskoeffizient
Denn hätte man zwar nicht mehr die absolute Abschwächung aber trotzdem ein Maß dafür? Die Länge kannn ich ja errechnen und die Abschwächungskoeffizienten per LGS errechnen? ist der Ansatz so richtig?

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

13.12.2018, 14:28

Huggy

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RE: Gleichung modellieren
Mir ist bei deinen Ausführungen einiges ziemlich unklar. Bevor man rechnet, sollte man erst mal die zugrundeliegende Physik und Mathematik sauber betrachten. Wenn man einen Strahl über eine Länge $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch ein homogenes absorbierendes Material schickt, dann besteht zwischen der Eintrittsintensität $\begin{eqnarray*} I_e \end{eqnarray*}$ des Strahls und seiner Austrittsintensität $\begin{eqnarray*} I_a \end{eqnarray*}$ die Beziehung

$\begin{eqnarray*} I_a=I_ee^{-kx} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der materialabhängige Absorptionsfaktor. Tritt der Strahl nacheinander durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Materialen mit den den Absorptionsfaktoren $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ über die Längen $\begin{eqnarray*} x_i, i= 1,..., n \end{eqnarray*}$ hindurch, gilt:

$\begin{eqnarray*} I_a=I_e\prod_{i=1}^n e^{-k_ix_i} \end{eqnarray*}$

Diese Beziehung lässt sich durch logarithmieren linearisieren. Mit $\begin{eqnarray*} S_e= \ln I_e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_a=\ln I_a \end{eqnarray*}$ ergibt sich

$\begin{eqnarray*} S_a=S_e-\sum_{i=1}^n k_ix_i \end{eqnarray*}$

Sendet man Strahlen gleicher Eingangsintensität mit unterschiedlichen Richtungen und Eintrittspunkten durch ein Konglomerat von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Materialen, gilt für jeden dieser Strahlen

$\begin{eqnarray*} (*) \quad S_{r,a}=S_e-\sum_{i=1}^n k_ix_{r,i} \end{eqnarray*}$

Dabei soll $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die verschiedenen Strahlrichtungen und Eintrittspunkte durchnummerieren. Bei deiner quadratischen 3x3-Konfiguration gibt es nur 6 prinzipielle Möglichkeiten, bei denen der Strahl jeweils durch 3 Materialen hindurchtritt und alle Längen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gleich sind. Damit kann man keine 9 Absorptionskoeffizienten bestimmen. Bei mehr als 6 Strahlen können die Längen aber nicht alle gleich sein. Wenn man jedoch die Längen gemäß (*) berücksichtigt, kann man aus $\begin{eqnarray*} r=9 \end{eqnarray*}$ Strahlen mit geeignet ausgewählten Richtungen und Eintrittspunkten die 9 Absorptionskoeffizienten bestimmen. Geeignet ausgewählt bedeutet, dass man 9 linear unabhängige Gleichungen bekommen muss.

In der Realität würde man mehr als 9 Strahlen nehmen und eine Ausgleichsrechnung durchführen, z. B. nach der Methode der kleinsten Quadrate.

13.12.2018, 15:40

Der Graus

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RE: Gleichung modellieren
Hallo,
danke für deine so ausführliche Antwort. Die Formel die du da über die Beziehung von Eintritts- und Austrittsintesität angegeben hast, ist doch das Lambert-Beer Gesetz? Das hatte ich auch schon entdeckt, der Prof. meinte aber, dass dies viel zu kompliziert gedacht ist und wir das gar nicht so machen sollen, er hat uns eben den Ansatz gegeben z.B. E=S-a-b-c als Beispiel für einen Strahl. E= Ausgangsintensität und S=Eingangsintensität
Wenn man so "einfach" denkt, ist dann mein oben vorgestellter Ansatz mit der Einbeziehung der Länge in Ordnung oder fehelerhaft?

13.12.2018, 16:10

Huggy

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RE: Gleichung modellieren

Zitat:

Original von Der Graus
Die Formel die du da über die Beziehung von Eintritts- und Austrittsintesität angegeben hast, ist doch das Lambert-Beer Gesetz?

Ja.

Zitat:

Das hatte ich auch schon entdeckt, der Prof. meinte aber, dass dies viel zu kompliziert gedacht ist und wir das gar nicht so machen sollen, er hat uns eben den Ansatz gegeben z.B. E=S-a-b-c als Beispiel für einen Strahl. E= Ausgangsintensität und S=Eingangsintensität

Wenn man das für die Intensitäten ansetzt, ist es schlicht falsch. Aber für die Logarithmen der Intensitäten ergibt sich genau diese Art der Beziehung, nämlich meine Gleichung (*), wobei du die Bezeichnungen natürlich anders wählen kannst.

Zitat:

Wenn man so "einfach" denkt, ist dann mein oben vorgestellter Ansatz mit der Einbeziehung der Länge in Ordnung oder fehelerhaft?

Es geht nicht die Länge der Kästchen ein, sondern die Strecke, die ein Strahl innerhalb des Kästchens zurücklegt. Diese lässt sich geometrisch aus der Länge der Kästchen, dem Eintrittspunkt und dem Eintrittswinkel bestimmen.

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