Unendlicher Schnitt von offenen Intervallen

13.12.2018, 12:40	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlicher Schnitt von offenen Intervallen Meine Frage: Hallo, Ich versuche gerade zu verstehen,warum der unendliche Schnitt dieser offenen Intervalle, ein abgeschlossenes Intervall ergibt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n} \right) =\left(-1,2\right)\cap \left(-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2} \right)\cap ...\cap \left(0,1\right) \end{eqnarray}$ Das unedlichkeitssymbol irritiert mich ein wenig und ich schätze, dass diese Schreibweise falsch ist, anders kann ja aufgrund (0,1) im Schnitt, das abgeschlossene Intervall [0,1] als Ergebnis nicht Zustande kommen. Hilfe bei der Aufklärung wäre nett.
13.12.2018, 12:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \bigcap_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray}$ bedeutet NICHT, dass $\begin{eqnarray} n=\infty \end{eqnarray}$ irgendwo eingesetzt wird - das ist genau wie bei Reihen, wo dergleichen Unsinn auch nicht praktiziert wird. Sondern es bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ diese Intervalle betrachtet und geschnitten werden. Die Menge $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ taucht also NICHT unter den Mengen auf, die da geschnitten werden - weg damit.
13.12.2018, 13:08	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok,habe es verstanden. Also das heißt, ich komme beliebige Nahe an das Intervall (0,1) ran. Z.b. (-0.00000000001,1.000000001).Sodass das einzige Intervall, das im Schnitt aller dieser offenen Intervalle ist,[0,1] sein muss ?
13.12.2018, 13:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ liegt in allen diesen Intervallen drin. Aber für alle anderen Zahlen $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ findest du ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\not\in \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray}$ , also enthält der Durchschnitt auch keine weiteren Elemente außerhalb $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ .
13.12.2018, 13:29	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, nice Dankeschön

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »