Grenzwert berechnen

13.12.2018, 22:21	MatheKit	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen Hallo, ich hätte mal eine wahrscheinlich recht simple Aufgabe, bei der ich aber genauso augenscheinlich Probleme habe: Untersuchen Sie folgende Grenzwerte auf Existenz und berechnen Sie diese gegebenenfalls: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -1} \frac{x^{2}+4x+3}{\|x+1\|} \end{eqnarray}$ Ehrlich gesagt weiß ich nicht so recht, wie ich mit der -1 umzugehen habe. Wenn ich -1 einsetze, dann kommt 0/0 raus. Normalerweise waren diese Aufgaben doch recht einfach, musste ich nur faktorisieren und dann brav einsetzen, hier scheint man mir mehr Probleme bereiten zu wollen ... Mag mir jemand helfen?
13.12.2018, 22:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuche die beiden einseitigen Grenzwerte. Wenn beide existieren und übereinstimmen, existiert dein Grenzwert.
13.12.2018, 23:03	MatheKit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -1} \frac{x^{2}+4x+3}{\|x+1\|} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x+3)}{\|x+1\|} = \lim_{x \to -1} (x+3) \cdot \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)}{\|x+1\|} \end{eqnarray}$ Beim linken Teil, setze ich nun wie gewohnt -1 ein und bekomme 2 raus. Das geht doch soweit oder? Für den rechten Teil muss ich mir jetzt anschauen, wie das mit dem rechtseitigen und linksseitigen Limes ging. Gefühlt wird es von links nach rechts negativ und von rechts nach links positiv bleiben, wegen dem Betrag.
13.12.2018, 23:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \frac{x+1}{\|x+1\|} = \pm 1 \end{align}$ Wo genau tritt was ein?
13.12.2018, 23:17	MatheKit	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich einfach folgendes schreiben? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to (-1)+} \frac{(x+1)}{\|x+1\|} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to (-1)-} \frac{(x+1)}{\|x+1\|} = -1 \end{eqnarray}$ Da 2 ungleich -2 existiert kein Grenzwert.
13.12.2018, 23:55	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell richtig. Nur musst du in der Gleichungskette, die du oben stehen hast, von Anfang an mit den einseitigen Grenzwerten rechnen. Denn die (beidseitigen) Grenzwerte existieren allesamt nicht; du darfst also nicht einfach behaupten, sie wären gleich.
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14.12.2018, 00:26	MatheKit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, ergibt Sinn. Vielen Dank!

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