Gaußsche Quadratur

14.12.2018, 10:43	Marius.21	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsche Quadratur Meine Frage: Hallo, bei meiner Frage geht es weniger um eine spezielle Aufgabe sondern eher um ein generelles Verständnis der Gausschen Quadratur. Ich glaube, ich habe so grob verstanden worum es bei dieser numerischen Integrationsmethode geht. Durch die "freie" Wahl von Gewichten und speziellen Polynomen komme ich an einen sehr hohen Exaktheitsgrad ran, richtig? Aber warum? Ich verstehe die Herleitung leider überhaupt nicht! Die Formel die man sucht lautet ja: $\begin{eqnarray} F = \sum\limits_{k=1}^{n} c_{k} f(x_{k}) \end{eqnarray}$ Die verschiedenen cs sind meine Gewichte und die verschiedenen xs sind Nullstellen irgendeiner Funktion. Meine konkreten Fragen lauten deshalb: 1. Wie kann man zeigen, dass die $\begin{eqnarray} x_{k} \end{eqnarray}$ Nullstellen irgendeiner bestimmten Funktion sind? 2. Wie bestimme ich $\begin{eqnarray} c_{k} \end{eqnarray}$ ? (Hier ist mir klar, dass für verschiedene spezielle Polynome die Berechnung der cs für verschiedene spezielle Polynome (Legrende, etc) variieren können. Danke für eure Antworten! Meine Ideen:* In der Vorlesung ging der Prof von folgenden Ansatz aus: $\begin{eqnarray} f(x)=w_{n}(x)P_{m}(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \\int_{a}^{b} \! w_{n}(x)P_{m}(x) \, dx = 0 \end{eqnarray}$ Das mit der Polynomshreibweise habe ich akzeptiert, aber warum setz ich das Integral gleich 0?
18.04.2019, 14:25	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußsche Quadratur Hallo Marius, deine Frage liegt zwar schon 4 Monate zurück. Da sie aber evtl. von allgemeinem Interesse ist, und noch unbeantwortet ist, möchte ich dir gerne Antwort geben. Deine Frage ist: Wieso führt die Gauß-Quadratur (= Quadratur mit maximaler Ordnung) auf Quadraturformeln, deren Knoten x_k sich aus den Nullstellen der Legendre-Polynome berechnen? Hierzu verweise ich auf den Satz aus einem Vorlesungsscript: Es existiert eindeutig eine s-stufige Quadraturformel der maximalen Ordnung 2s. Sie hat die Knoten x_i = ½ (1 + lambda_i), i = 1, …, s, wobei lambda_1 , …, lambda_s die Nullstellen des s-ten Legendre-Polynoms P_s sind. Die Gewichte c_i sind durch Satz … gegeben. Der Beweis dieses Satzes und alle vorhergehenden Betrachtungen sind dem besagten Script zu entnehmen. Wenn du es haben willst, schreibe einfach an MarcelLindener (at) web.de. Hieraus ergibt sich auch dein Punkt 2 sowie die von dir nicht verstandene Formel deines Profs.

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