Endliche Untergruppe

15.12.2018, 09:26	luia41	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Untergruppe Meine Frage: Hi, ich soll die endlichen Untergruppen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^, \mathbb{C}^* \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen:* Ich weiß, dass die Untergruppen zyklisch sein müssen, aber weiß nicht wie ich dann auf die untergruppen komme.
15.12.2018, 11:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die multiplikative Gruppe $\begin{align} \mathbb{R}^ \end{align}$ hat $\begin{align} 1 \end{align}$ als neutrales Element. Jetzt sei $\begin{align} G \end{align}$ eine endliche Untergruppe von $\begin{align} \mathbb{R}^* \end{align}$ . Ist $\begin{align} n \end{align}$ die Gruppenordnung, so gilt für alle $\begin{align} a \in G \end{align}$ zunächst $\begin{align} a^n = 1 \end{align}$ . Ist nun $\begin{align} n \end{align}$ ungerade, so ist $\begin{align} G = \{1\} \end{align}$ die triviale Gruppe. Wegen der Minimalität von $\begin{align} n \end{align}$ ist $\begin{align} n=1 \end{align}$ die Gruppenordnung. Ist dagegen $\begin{align} n \end{align}$ gerade, so ist $\begin{align} G = \{ \pm 1 \} \end{align}$ und $\begin{align} n=2 \end{align}$ ist die Gruppenordnung. Und jetzt der interessantere Fall $\begin{align} \mathbb{C}^* \end{align*}$ . Daran solltest aber du dich jetzt machen.
15.12.2018, 13:28	luia41	Auf diesen Beitrag antworten »
Also von $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^ \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element auch die 1. Also ist auch wieder $\begin{eqnarray} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ eine triviale Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^* \end{eqnarray}$ und dann auch $\begin{eqnarray} \{-i^2\} \end{eqnarray*}$ , aber vermutlich noch mehr?

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