3 aus n Zahlen ziehen;Wahrscheinlichkeit für benachbarte Zahlen bestimmen

15.12.2018, 11:49

o1246413

3 aus n Zahlen ziehen;Wahrscheinlichkeit für benachbarte Zahlen bestimmen

Die Aufgabe lautet:
Sei n \geq 3 eine natürliche Zahl. n Karten, die mit den Zahlen 1,2,...,n durchnummeriert sind, werden gemischt und dann als Stapel auf den Tisch gelegt. Es werden die ersten 3 Karten vom Stapel abgenommen.

a) Man bestimme für den Fall n = 7 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten drei Karten genau zwei benachbarte Karten sind.

b) Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten drei Karte genau zwei benachbarte Karten sind \frac{3}{5} . Wie groß könnte n sein?

gegebene Lösung:
zunächst zu b)

Sind die Karten mit den Nummern 1,2 oder n-1, n in der Auswahl, so gibt es jeweils n-3 Möglichkeiten, die dritte Karte auszuwählen, so dass genau zwei benachbarte Paar in der Auswahl sind. Für alle n-3 anderen Nachbarpaare gibt es jeweils n-4 Möglichkeiten, die dritte Karte auszuwählen. Die W. dafür, aus n Karten 3 so zu ziehen, dass sich genau 2 benachbarte Zahlen auf den Karten finden, ist also

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(n-3\right)+ \left(n-3\right)+ \left(n-3\right)\left(n-4\right) }{\begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} } = \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Nach Umformung ergeben sich für n=5 oder n=6 als Lösung der quadr. Gleichung.

zu a)

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(7-3\right)+ \left(7-3\right)+ \left(7-3\right)\left(7-4\right) }{\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} } = \frac{20}{140} = \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Meine Probleme:
Ich verstehe die a) und b) so, dass ich in meiner Auswahl k z.B die Zahlen 1,2, 4/5/6/7 aber eben NICHT 1,2,3 habe. Ich habe also ein Nachbarpaar ({(1,2)}) und NICHT 2 Nachbarpaare ({(1,2),(2,3)}). In der Erklärung zu b) lese ich nun: "...n -3 Möglichkeiten, die dritte Karte auszuwählen, so dass genau zwei benachbarte Paar in der Auswahl sind....". Klingt erstmal nach Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Aber in der Lösung sehe ich kein 1-(???) , was al Gegenw. zu identifizieren wäre.

Ich verstehe also die Zusammensetzung des Zählers aus b) nicht.

15.12.2018, 17:51

HAL 9000

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Der Zähler ist völlig in Ordnung - Erklärung:

Sei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Nummer der ersten der beiden benachbarten Karten, die unter den drei gezogenen Karten sind.

Ist $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , so gibt es für die dritte Karte genau $\begin{eqnarray*} (n-3) \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, nämlich $\begin{eqnarray*} 4,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} k=n-1 \end{eqnarray*}$ , so gibt es für die dritte Karte ebenfalls genau $\begin{eqnarray*} (n-3) \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, nämlich $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,n-3 \end{eqnarray*}$ .

In den restlichen Fällen $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq n-2 \end{eqnarray*}$ gibt es aber nur $\begin{eqnarray*} (n-4) \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, nämlich $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,k-2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k+3,\ldots,n \end{eqnarray*}$ . Diesen Fall gibt es natürlich überhaupt nur, falls $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ ist.

Man kann die Wahrscheinlichkeitsformel dann natürlich noch vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-3)+(n-3)+(n-3)(n-4)}{\binom{n}{3}} = \frac{(n-3)(n-2)}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{6(n-3)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von o1246413
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(7-3\right)+ \left(7-3\right)+ \left(7-3\right)\left(7-4\right) }{\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} } = \frac{20}{140} = \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Verrechnet: Der Nenner ist nicht 140, sondern 35. unglücklich

Demzufolge ist das richtige Endergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{4}{7} \end{eqnarray*}$ .

15.12.2018, 19:33

o1246413

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Ganz doll DANKE! Gott

15.12.2018, 19:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von o1246413
Aber warum kommt bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Lösung oben 140 raus? Ich komme im Zähler auf 20 und im Nenner auf 35.

Hallo? Du bist es doch, der die 140 behauptet hat! Ich hab doch geschrieben, dass 35 im Nenner richtig ist.

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